9.8 线性变换的 Jordan 标准形

Jordan 标准形也称若当标准型。 $T$ 在 $F$ 上具有这种标准形，当且仅当它的最小多项式（等价地，特征多项式）在 $F$ 上能分解成一次因式的乘积。因此每个复方阵都有 Jordan 标准形；实方阵若有非实特征值，则需要扩充到复数域后讨论这种形式。

设 $m_T(t) = \prod_j (t - \lambda _{j})^{\ell _{j}}$ 。先分解成根子空间 $G_{j} = \ker\bigl((T - \lambda _{j}I)^{\ell _{j}}\bigr)$ 的直和，再在每个 $G_{j}$ 上研究幂零变换 $N_{j} = T|_{G_j} - \lambda _{j}I$ 。将上一节的 0 对角元换回 $\lambda _{j}$ ，就得到一般 Jordan 块。

\begin{gathered}J_{3}(\lambda ) = \begin{bmatrix}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda\end{bmatrix}\\[.5em] P^{-1}AP = J = \operatorname{diag}(J_{k_1}(\lambda _{1}),\ldots ,J_{k_r}(\lambda _{r}))\end{gathered}

相同 $\lambda$ 的块阶数之和是它的代数重数，块数是它的几何重数，最大阶数是 $t - \lambda$ 在最小多项式中的指数。全部块都是一阶时，Jordan 形就是对角矩阵。对于每个 $\lambda$ ，也可由 $\ker\bigl((A - \lambda I)^{k}\bigr)$ 的维数变化逐阶确定块的大小。

简例 · 求出标准形并构造过渡矩阵

\begin{gathered}A = \begin{bmatrix}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}\\[.5em] \chi _A(t) = (t - 2)^{2}(t - 3)\end{gathered}

在特征值 2 的根子空间中，取 $v_{1} = (1,0,0)^{\mathsf T}$ 、 $v_{2} = (0,1,0)^{\mathsf T}$ ，则 $(A - 2I)v_{1} = 0$ 、 $(A - 2I)v_{2} = v_{1}$ 。特征值 3 可取 $v_{3} = (2,2,1)^{\mathsf T}$ ，满足 $Av_{3} = 3v_{3}$ 。

\begin{gathered}P=\begin{bmatrix}v_1&v_2&v_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&2\\0&0&1\end{bmatrix}\\[.5em]J=\begin{bmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}\\AP=PJ,\quad\det P=1\\P^{-1}AP=J\\m_A(t)=(t-2)^2(t-3)\end{gathered}

两个向量组成的链给出 $J_{2}(2)$ ，剩余特征向量给出一阶块 $J_{1}(3)$ 。标准形确定了块的阶数与特征值， $P$ 则明确记录了所选择的 Jordan 基。

另一种方法是使用特征矩阵：研究多项式矩阵 $tI - A$ ，在 $F[t]$ 上作可逆的初等行列变换，化为 Smith 标准形。这里行列倍乘的因子须是非零常数，倍加可使用多项式系数。

\begin{gathered}U(t)(tI - A)V(t) = \operatorname{diag}(d_{1}(t),\ldots ,d_{n}(t)) \\ d_{1} | d_{2} | \cdots | d_{n} \text{，各} d_{i} \text{首一} \\ \det U(t) \text{、} \det V(t) \text{均为非零常数}\end{gathered}

这些 $d_{i}$ 是不变因子。令 $\Delta _{k}$ 是特征矩阵全部 $k$ 阶子式的首一最大公因式， $\Delta _{0} = 1$ ，则不变因子、特征多项式与最小多项式之间有以下联系：

\begin{gathered}d_k(t)=\frac{\Delta_k(t)}{\Delta_{k-1}(t)}\\\chi_A(t)=\prod_{k=1}^{n}d_k(t)\\m_A(t)=d_n(t)\end{gathered}

在特征多项式能完全分解为一次因式的域上，将各个次数大于 0 的不变因子分别分解成 $(t - \lambda )^{k}$ ，相同因子按出现次数保留，就得到初等因子；每一个初等因子对应一个 Jordan 块 $J_{k}(\lambda )$ 。

两个同阶矩阵相似，当且仅当它们的特征矩阵在多项式环上相抵，也等价于不变因子相同；在具有 Jordan 标准形的情形，还等价于初等因子的多重集合相同。这些数据能确定完整的相似类型，只有特征多项式与最小多项式通常仍不够。

求解时可选择两条路线：用根子空间、幂的秩及向量链构造 Jordan 基；或先用特征矩阵求不变因子与初等因子，确定 Jordan 块，再求解向量链得到 $P$ 。