9.2 线性映射的核与像

设 $T$ ： $V \to W$ 线性。核记录被映到零的输入，像记录实际可以得到的输出，它们分别是定义域与目标空间的子空间。

\begin{gathered}\ker (T) = \{v \in V : T(v) = 0\} \\ \operatorname{Im}(T) = \{T(v) : v \in V\} \subseteq W\\[.5em] T \text{单射} \iff \ker (T) = \{0\} \\ T \text{满射} \iff \operatorname{Im}(T) = W\end{gathered}

核还决定了同一输出对应哪些输入。若 $T(v_{0}) = w$ ，则 $w$ 的全部原像恰为 $v_{0} + \ker (T)$ 。把核中的差异视为等价，便得到第8章的第一同构定理：

\begin{gathered}V/\ker T\cong\operatorname{Im}T\\v+\ker T\longmapsto T(v)\end{gathered}

$V$ 有限维时，核的维数与像的维数之和等于定义域维数，这就是秩与零度的关系。先取核的一组基，再扩充成 $V$ 的基，补入的基向量的像构成 $\operatorname{Im}(T)$ 的一组基。

\begin{gathered}\dim V = \dim \ker (T) + \dim \operatorname{Im}(T) \\ \operatorname{rank}(T) = \dim \operatorname{Im}(T)\\[.5em] \dim V = n \text{，} \dim W = m \text{时：} \\ 0 \le \operatorname{rank}(T) \le \min (m, n)\end{gathered}

因此，同维有限维空间之间的线性映射，单射、满射、可逆三者等价。对矩阵映射 $x \mapsto Ax$ ，核就是 $Ax = 0$ 的解空间，像就是 $A$ 的列空间，得到 $\dim \operatorname{Null}(A) = n - \operatorname{rank}(A)$ 。

维数相加等于 $\dim V$ ，并不自动给出 $V = \ker (T) \oplus \operatorname{Im}(T)$ 。若 $T$ 是 $V$ 上的幂等变换 $P$ ，则有下述分解：

\begin{gathered}P^{2} = P \implies V = \operatorname{Im}(P) \oplus \ker (P) \\ v = Pv + (v - Pv)\\[.5em] P \text{是平行于} \ker (P) \text{、投到} \operatorname{Im}(P) \text{上的投影}\end{gathered}

这个结论把“投影”与“幂等变换”联系起来，也说明子空间可以通过适当投影的像或核来描述。