7.3 正定二次型与正定矩阵

设 $f(x) = x^{\mathsf T}Ax$ ， $A$ 是实对称矩阵。若对每个非零实向量 $x$ ，都有 $f(x) > 0$ ，就称 $f$ 为正定二次型， $A$ 为正定矩阵。这里检验的是全部非零方向； $x = 0$ 时总有 $f(0) = 0$ ，不要求它也严格大于 0。

\begin{gathered}A \text{正定} \iff \text{对所有} x \ne 0 \text{，} x^{\mathsf T}Ax > 0\\[.5em] A \text{负定} \iff \text{对所有} x \ne 0 \text{，} x^{\mathsf T}Ax < 0 \\ A \text{半正定} \iff \text{对所有} x \text{，} x^{\mathsf T}Ax \ge 0 \\ A \text{半负定} \iff \text{对所有} x \text{，} x^{\mathsf T}Ax \le 0\end{gathered}

如果二次型既能取正值，又能取负值，就称为不定。半正定允许某些非零向量处取值为 0，因此不一定正定；一个正定二次型当然也满足半正定的不等式。

对实对称矩阵，下列条件等价。它们分别从函数值、特征值、规范形和行列式出发判断正定性：

\begin{gathered}A \text{正定} \\ \iff A \text{的全部特征值都} > 0 \\ \iff \text{正惯性指数} p = n \\ \iff A \text{合同于} I_{n} \\ \iff \text{全部顺序主子式} \Delta _{1},\ldots ,\Delta _{n} \text{都} > 0\end{gathered}

最后一条称为正定性的顺序主子式判据（Sylvester 判据）。 $\Delta _{k}$ 是 $A$ 左上角 $k \times k$ 子矩阵的行列式，不是主对角线上第 $k$ 个元素，也不是随意选出的一个 $k$ 阶子式。使用这些等价条件时，必须保留 $A$ 为实对称矩阵的前提。

\begin{gathered}A=(a_{ij}),\quad\Delta_1=a_{11}\\\Delta_2=\det\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\\\vdots\\\Delta_n=\det A\end{gathered}

特征值判据来自正交替换：写成 $f = \lambda _{1}y_{1}^{2} + \cdots + \lambda _{n}y_{n}^{2}$ 后，全部 $\lambda _{i} > 0$ 恰好保证非零向量处严格为正。如果有零特征值，沿其特征向量取值为 0；如果有负特征值，沿其特征向量就取负值。

例二 · 含参数的正定条件

\begin{gathered}A_{t} = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & t\end{bmatrix}\\[.5em] \Delta _{1} = 2 \\ \Delta _{2} = 2t - 1\\[.5em] A_{t} \text{正定} \iff t > \frac{1}{2}\end{gathered}

\begin{aligned}f&=2x_1^2+2x_1x_2+tx_2^2\\&=2\left(x_1+\frac{x_2}{2}\right)^2+\left(t-\frac12\right)x_2^2\end{aligned}

$t = \frac{1}{2}$ 时只有一个平方项，取非零向量 $(-\frac{1}{2}, 1)$ 就得到 0，所以此时半正定但不正定。 $t < \frac{1}{2}$ 时，同一个向量给出负值，而 $(1, 0)$ 给出正值，因此二次型不定。

若要判断半正定，不能简单把顺序主子式判据中的“ $> 0$ ”全部改成“ $\ge 0$ ”。例如 $\operatorname{diag}(0, -1)$ 的两个顺序主子式都是 0，但在 $(0, 1)$ 处取值为 $-1$ 。对实对称矩阵，半正定应当等价于全部特征值非负。

半正定当且仅当所有主子式非负。主子式要求选取同一组行号和列号，不仅包括左上角的顺序主子式。负定则等价于奇数阶顺序主子式全负、偶数阶顺序主子式全正，也可检查 $-A$ 是否正定。

\begin{gathered}A \text{半正定} \iff \text{全部主子式} \ge 0 \\ A \text{负定} \iff (-1)^{k}\Delta _{k} > 0 \text{，} k = 1,\ldots ,n \\ \text{（} A \text{均为实对称矩阵）}\end{gathered}

几何上，正定二次型在原点取到唯一最小值 0；二维情形的等值线 $f(x) = 1$ 是椭圆。正交替换给出椭圆的主轴方向，正特征值决定各轴的长度。这将上一章的特征方向，与本章的二次型联系起来。