9.1 线性映射及其运算

$V$ 、 $W$ 等空间使用同一标量域 $F$ ；讨论矩阵表示、最小多项式与标准形时，默认空间有限维且维数大于 0。 $F[t]$ 表示系数属于 $F$ 的一元多项式。

映射 $T$ ： $V \to W$ 若保持加法与数乘，就称为线性映射。 $V = W$ 时称为 $V$ 上的线性变换；目标空间是 $F$ 时称为线性函数。它保持任意有限线性组合，并将零向量映到零向量。

\begin{gathered}T(\alpha u + \beta v) = \alpha T(u) + \beta T(v)\\[.5em] T(0) = 0 \\ T(\sum c_{i}v_{i}) = \sum c_{i}T(v_{i})\end{gathered}

有限维空间上的线性映射完全由一组基的像决定。给定 $V$ 的基 $v_{1},\ldots ,v_{n}$ ，并在 $W$ 中任意指定 $n$ 个向量 $w_{1},\ldots ,w_{n}$ ，就存在唯一线性映射满足 $T(v_{i}) = w_{i}$ ；这些像不必线性无关，也不必互不相同。

$V$ 到 $W$ 的全部线性映射组成线性空间 $\operatorname{Hom}(V,W)$ ，加法与数乘逐个向量定义。复合需要前一个映射的输出属于后一个映射的定义域，乘积 $ST$ 按先 $T$ 、后 $S$ 的顺序作用。

\begin{gathered}(S + T)(v) = S(v) + T(v) \\ (cT)(v) = cT(v) \\ (ST)(v) = S(T(v))\\[.5em] R(ST) = (RS)T \\ R(S + T) = RS + RT \\ (S + T)R = SR + TR\end{gathered}

复合满足结合律与左右分配律，一般不满足交换律。 $\operatorname{Hom}(V,V)$ 同时具有线性空间和含单位元环的结构，称为 $F$ 上的一个代数，恒等变换 $I$ 是其乘法单位元。对一个变换可以定义幂与多项式：

\begin{gathered}T^{0} = I \\ p(t) = c_{0} + c_{1}t + \cdots + c_{m}t^{m} \\ p(T) = c_{0}I + c_{1}T + \cdots + c_{m}T^{m}\end{gathered}

同一个 $T$ 的各个多项式彼此可交换，代入也保持多项式的加法和乘法。这是后面使用零化多项式、最小多项式的基础。

投影把第8章的直和转成变换运算：若 $V = U \oplus W$ ，定义 $P(u + w) = u$ 、 $Q(u + w) = w$ ，则有下面的关系。 $P^{2} = P$ 称为幂等，把 $PQ = QP = 0$ 称为两个变换正交；这里是关于乘积的代数术语。

\begin{gathered}P^{2} = P \text{，} Q^{2} = Q \\ PQ = QP = 0 \text{，} P + Q = I\end{gathered}

反过来，满足这些关系的 $P$ 、 $Q$ 给出 $V = \operatorname{Im}(P) \oplus \operatorname{Im}(Q)$ 。在实数几何空间的正交分解中，保留 $U$ 、反转 $W$ 的反射为 $R = P - Q = 2P - I$ ，并满足 $R^{2} = I$ 。