5.5 行列式的计算

5.4 用有向体积形式定义行列式，再把外积展开成 $n!$ 项的排列公式。直接计算这些项往往很繁琐。按一行或一列展开，是对这一公式中的各项重新分组、整理后得到的代数变形与简化，能够把高阶行列式化成低阶行列式来计算。下面直接给出变形后的公式，不再证明。

先回顾由外积展开得到的二阶公式：

二阶行列式的计算

\det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=ad-bc

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外积展开给出了

ad-bc

。这段动画展示这一公式与前面面积、定向解释的对应关系。3Blue1Brown ·《线性代数的本质》行列式 07:32–09:11 · 英语原声／原片内嵌中英字幕

对于 $n\ge2$ ，从 $A$ 中删去第 $i$ 行和第 $j$ 列，剩余 $(n-1)$ 阶方阵的行列式称为元素 $a_{ij}$ 的余子式，记为 $M_{ij}$ 。再乘上位置符号 $(-1)^{i+j}$ ，得到代数余子式 $C_{ij}$ ：

代数余子式的位置符号

C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},\qquad\begin{bmatrix}+&-&+&\cdots\\-&+&-&\cdots\\+&-&+&\cdots\end{bmatrix}

固定第 $i$ 行，将排列公式按这一行选取的元素归类合并，可得到按这一行展开的公式；固定第 $j$ 列也有对应的展开式：

按一行或一列展开

\begin{gathered}\det A=\sum_{j=1}^n a_{ij}C_{ij}\quad\text{（固定第 }i\text{ 行）},\\[.6em]\det A=\sum_{i=1}^n a_{ij}C_{ij}\quad\text{（固定第 }j\text{ 列）}.\end{gathered}

每次选定一行或一列，把其中各元素乘上它们自己的代数余子式再相加。反复使用展开式，最终会降到二阶或一阶；一阶行列式直接取唯一的元素，即 $\det[a]=a$ 。

例如，三阶矩阵按第一行展开，得到：

\begin{aligned}\det\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}&=a\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}\\&\quad-b\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}\\&\quad+c\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}\\&=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).\end{aligned}

这与 5.4 的六项排列公式计算的是同一个数，只是把六项按第一行的三个元素合并成三组。

A=\begin{bmatrix}1&2&0\\0&3&1\\2&0&4\end{bmatrix}

按第一行展开，第三个元素为零，对应项直接消失：

\begin{aligned}\det A&=1\begin{vmatrix}3&1\\0&4\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}0&1\\2&4\end{vmatrix}\\&=1\cdot12-2\cdot(-2)=16.\end{aligned}

也可以按第一列展开。第二行的元素为零，第一列的第一个、第三个位置都取正号：

\begin{aligned}\det A&=1\begin{vmatrix}3&1\\0&4\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}2&0\\3&1\end{vmatrix}\\&=1\cdot12+2\cdot2=16.\end{aligned}

两种展开方法得到相同结果。通常选择零较多的行或列，能减少需要计算的余子式；元素自身的正负号与位置符号要分别处理。

对二阶及以上矩阵，将全部代数余子式排成矩阵后转置，得到伴随矩阵 $\operatorname{adj}(A)=(C_{ij})^{\mathsf T}$ 。继续整理按行、列展开的公式，可得到下面的恒等式，也就得到第三章使用的伴随矩阵求逆公式；这里同样直接列出结果。

\begin{gathered}A\operatorname{adj}(A)=\operatorname{adj}(A)A=(\det A)I_n,\\[.5em]\det A\ne0\implies A^{-1}=\frac{\operatorname{adj}(A)}{\det A}.\end{gathered}

按行、列展开和伴随矩阵公式都建立在 5.4 的同一个几何定义及其排列公式之上。下一节结合初等变换的性质，还可以通过消元把行列式的计算进一步简化。