5.4 行列式的几何定义：有向体积与外积

前面用面积、体积与定向描述了行列式。现在用微分形式把这个几何意义写成一个定义：线性变换使有向体积形式变为原来的多少倍，这个倍数就是行列式。先介绍这里需要的坐标微分与外积，再从定义导出排列公式。以下讨论实数空间 $\mathbb R^n$ ，其中 $n\ge1$ 。

坐标微分：读取位移的一个分量

设 $x_1,\ldots,x_n$ 是标准坐标。坐标微分 $dx_i$ 是一个线性的测量规则：输入位移向量 $v=(v_1,\ldots,v_n)^{\mathsf T}$ ，输出它的第 $i$ 个分量。这样的线性测量规则称为线性函数，也称这里的一次微分形式。这里的 $dx_i$ 是作用于向量的函数，不是一个向量或一个固定的小数。

\begin{gathered}dx_i(v)=v_i,\\dx_i(\lambda u+\mu v)=\lambda dx_i(u)+\mu dx_i(v).\end{gathered}

例如 $v=(3,2)^{\mathsf T}$ 时， $dx_1(v)=3$ 、 $dx_2(v)=2$ 。一个微分只读取一个方向上的分量；记录面积或体积，还需要把多个方向组合起来。

外积：同时记录大小与定向

符号 $\wedge$ 读作“外积”，也叫楔积。两个一次微分形式 $\alpha,\beta$ 的外积作用于一对有序向量，定义为：

\begin{aligned}(\alpha\wedge\beta)(u,v)={}&\alpha(u)\beta(v)\\&-\alpha(v)\beta(u).\end{aligned}

于是 $(dx_1\wedge dx_2)(u,v)=u_1v_2-u_2v_1$ ，给出两条有序边围成的平行四边形的有向面积：绝对值是面积，正负表示定向。交换两条边就变号，两条边相同则为零。

对更多个一次微分形式，外积同样逐个因子线性，并且满足结合律；交换两个相邻的一次形式会变号，出现相同的一次形式则为零。“逐个线性”指其余因子不动时，可以把某一个因子里的加法拆开，并把其中的数乘系数提出：

\begin{gathered}(a\alpha+b\beta)\wedge\gamma\\=a(\alpha\wedge\gamma)+b(\beta\wedge\gamma),\\[.4em]\alpha\wedge\beta=-\beta\wedge\alpha,\qquad\alpha\wedge\alpha=0,\\[.4em](\alpha\wedge\beta)\wedge\gamma=\alpha\wedge(\beta\wedge\gamma).\end{gathered}

在 $n$ 维中， $\omega_0=dx_1\wedge\cdots\wedge dx_n$ 称为标准有向体积形式。它对 $n$ 条有序边逐个线性，交换任意两条边会变号，并规定标准基围出的有向体积为 $1$ 。这些性质确定了它对任意一组边的取值：把每条边按标准基展开，就能逐项计算。

\begin{gathered}\omega_0=dx_1\wedge\cdots\wedge dx_n,\\\omega_0(e_1,\ldots,e_n)=1.\end{gathered}

$\omega_0(v_1,\ldots,v_n)$ 的绝对值是这些边围成的平行多面体的体积；若各边线性相关，有向体积就是零。这个形式既记录体积，也记录边的先后顺序所给出的定向。

定义：有向体积形式变化的倍数

设线性变换为 $y=Ax$ ，其中 $A=(a_{ij})$ 。把输出坐标 $y_i$ 看作输入坐标的函数，它对位移的测量规则为 $dy_i$ 。因为这个函数是线性的，直接把坐标关系写成微分关系即可：

\begin{gathered}y_i=\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j,\\dy_i=\sum_{j=1}^n a_{ij}\,dx_j,\\dy_i(v)=dx_i(Av).\end{gathered}

这里的 $dy_i$ 作用于输入位移，读出它经过 $A$ 后的第 $i$ 个坐标变化。因此 $dy_1\wedge\cdots\wedge dy_n$ 记录变换后的有向体积。把它展开成 $dx_i$ 的外积时，重复的方向为零；其余项都能通过交换次序化为 $dx_1\wedge\cdots\wedge dx_n$ 的倍数。所以存在唯一的实数，使下面的等式成立；我们把这个数定义为 $A$ 的行列式：

行列式的几何定义

\boxed{\begin{gathered}dy_1\wedge\cdots\wedge dy_n\\=(\det A)\,dx_1\wedge\cdots\wedge dx_n.\end{gathered}}

等价地，任取输入的 $n$ 条有序边，变换后的有向体积都等于原有向体积乘上同一个数：

\begin{aligned}\omega_0(Av_1,\ldots,Av_n)\\=(\det A)\,\omega_0(v_1,\ldots,v_n).\end{aligned}

这就把前面几何描述中的倍数严格写了出来。 $\det A>0$ 表示保持定向， $\det A<0$ 表示翻转定向； $\det A=0$ 时所有 $n$ 维体积都被压成零。实际体积的缩放倍数始终为 $|\det A|$ 。

二阶情形 · 减号来自外积的反交换性

\begin{gathered}A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix},\\dy_1=a\,dx_1+b\,dx_2,\\dy_2=c\,dx_1+d\,dx_2.\end{gathered}

把两个一次形式作外积，按照逐个线性展开：

\begin{aligned}dy_1\wedge dy_2={}&ac\,dx_1\wedge dx_1\\&+ad\,dx_1\wedge dx_2\\&+bc\,dx_2\wedge dx_1\\&+bd\,dx_2\wedge dx_2.\end{aligned}

首尾两项含有重复方向，所以为零；把 $dx_2\wedge dx_1$ 交换为标准顺序会产生一个负号。因此：

\begin{gathered}dy_1\wedge dy_2=(ad-bc)\,dx_1\wedge dx_2,\\\boxed{\det A=ad-bc}.\end{gathered}

例如 $A=\begin{bmatrix}1&2\\1&-1\end{bmatrix}$ 时，这个倍数是 $-3$ ，对应前面面积变为三倍且定向翻转的例子。

从外积展开到排列与逆序数

一般情形中，每个 $dy_i$ 都是一组 $dx_j$ 的线性组合。展开 $dy_1\wedge\cdots\wedge dy_n$ ，就是从每个因子里各选一项再相乘。非零项不能重复选择同一个 $dx_j$ ，所以选中的下标必须是 $1,2,\ldots,n$ 的一个排列。

一个 $n$ 元排列把这 $n$ 个数各用一次，写作 $\sigma=(\sigma(1),\ldots,\sigma(n))$ ，所有排列组成的集合记为 $S_n$ ，共有 $n!=n(n-1)\cdots2\cdot1$ 个，其中 $1!=1$ 。第 $i$ 个因子选择 $dx_{\sigma(i)}$ 时，带出的系数是 $a_{i,\sigma(i)}$ 。

若 $i<j$ ，却有 $\sigma(i)>\sigma(j)$ ，这两个数就构成一个逆序。全部逆序的个数叫逆序数，记为 $\tau(\sigma)$ 。把排列按从小到大的顺序排好，需要的相邻交换次数的奇偶性由逆序数决定；外积的每次相邻交换都会变号，于是：

\begin{aligned}dx_{\sigma(1)}\wedge\cdots\wedge dx_{\sigma(n)}\\=(-1)^{\tau(\sigma)}\,dx_1\wedge\cdots\wedge dx_n.\end{aligned}

例如 $(3,1,4,2)$ 的逆序是 $(3,1)$ 、 $(3,2)$ 、 $(4,2)$ ，共 $3$ 个。对应的 $dx_3\wedge dx_1\wedge dx_4\wedge dx_2$ 化成标准顺序时取负号。逆序数为偶数时叫偶排列，为奇数时叫奇排列。

把所有非零项的系数相加，就从有向体积形式的定义得到熟悉的排列公式：

由外积展开得到的排列公式

\boxed{\begin{aligned}\det A={}&\sum_{\sigma\in S_n}(-1)^{\tau(\sigma)}\\&\cdot a_{1,\sigma(1)}a_{2,\sigma(2)}\cdots a_{n,\sigma(n)}.\end{aligned}}

每一项从每一行、每一列恰取一个元素；乘积的正负来自把外积排回标准顺序时产生的符号。排列公式计算的正是上面定义的有向体积倍数。

三阶情形 · 展开后的六项

\begin{array}{c|c|c}\text{排列}&\text{逆序数}&\text{符号}\\\hline(1,2,3)&0&+\\(1,3,2)&1&-\\(2,1,3)&1&-\\(2,3,1)&2&+\\(3,1,2)&2&+\\(3,2,1)&3&-\end{array}

\begin{aligned}\det A={}&a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}\\&+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}\\&-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}.\end{aligned}

例如排列 $(2,3,1)$ 对应 $a_{12}a_{23}a_{31}$ ，逆序数为 $2$ ，这一项取正号；排列 $(3,2,1)$ 对应 $a_{13}a_{22}a_{31}$ ，逆序数为 $3$ ，这一项取负号。

一维时 $dy_1=a_{11}\,dx_1$ ，所以 $\det[a]=a$ 。高维直接展开会出现许多项：三阶有 $3!=6$ 项，四阶已有 $4!=24$ 项。下一节对排列公式作代数变形，得到更方便的按行、列展开方法。