2.3 张成、线性空间的基与维数

一组向量的所有线性组合构成的集合，叫这些向量张成的空间，记作 $\operatorname{span}\{v_1,\ldots,v_k\}$ 。如果线性空间 $V$ 中每个向量都能这样表示，就说这组向量张成 $V$ ，也称它为 $V$ 的一个生成组。

\begin{gathered}\operatorname{span}\{v_{1},\ldots ,v_{k}\} \\ = \{c_{1}v_{1} + \cdots + c_{k}v_{k} : c_{i} \in F\}\end{gathered}

这个集合对加法、数乘封闭，因而是一个线性空间。

一个有序向量组称为线性空间 $V$ 的一组基，必须同时满足两个条件：它张成整个 $V$ ，且这组向量线性无关。张成保证能表示所有向量，线性无关保证表示方法唯一。

表示方法唯一可以直接由线性无关性说明：若同一个向量用一组基 $b_1,\ldots,b_n$ 写出两组系数 $c_i$ 、 $d_i$ ，两式相减就有 $\sum_{i=1}^n(c_i-d_i)b_i=0_V$ 。基向量线性无关，所以每个 $c_i-d_i$ 都为 0。

线性空间的维数被定义为，这个线性空间中一组基中元素的个数，记为 $\dim V$ 。这个定义是良好的，因为线性空间的任意一组基所含的向量个数都相同。如果 $V$ 有一组由有限个向量组成的基，就称它为有限维空间。本教程中讨论的基本是有限维线性空间。

在 $n$ 维空间中，超过 $n$ 个向量一定线性相关；少于 $n$ 个向量不能张成整个空间；恰好 $n$ 个向量时，线性无关与张成整个空间互相等价。

不能由有限个向量张成的空间，称为无限维空间；下一节会给出多项式的例子。