9.4 线性变换的特征值和特征向量、线性变换可对角化的条件

第6章关于矩阵的特征理论，现在推广到抽象线性空间。若 $T$ ： $V \to V$ 线性，并存在 $v \ne 0$ 与 $\lambda \in F$ 满足 $T(v) = \lambda v$ ，就称 $\lambda$ 为特征值， $v$ 为相应特征向量。

\begin{gathered}T(v) = \lambda v \text{，} v \ne 0 \\ E_{\lambda } = \ker (T - \lambda I)\\[.5em] \text{对应于} \lambda \text{的特征向量是} E_{\lambda } \text{中的非零向量}\end{gathered}

选定基后，向量关系 $T(v) = \lambda v$ 等价于坐标关系 $Ax = \lambda x$ 。因此 $T$ 与任一表示矩阵具有相同的特征值；特征多项式 $\chi _T(t) = \det (tI - A)$ 不依赖于基的选择。

对角表示意味着各基向量分别只被乘以一个标量。因此， $n$ 维空间上的 $T$ 可对角化，当且仅当存在一组由特征向量组成的基。不同特征值的特征子空间之和是直和，于是以下条件等价：

\begin{gathered}T\text{ 在 }F\text{ 上可对角化}\\\iff\text{存在由 }n\text{ 个特征向量}\\\text{组成的基（标量属于 }F\text{）}\\\iff\sum_{j=1}^{s}\dim E_{\lambda_j}=n\\\iff V=E_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus E_{\lambda_s}\end{gathered}

也可用重数判断： $\chi _T$ 在 $F$ 上完全分解为一次因式，并且每个特征值的几何重数 $\dim E_{\lambda }$ 都等于它的代数重数。具有 $n$ 个不同的 $F$ 上特征值是一个充分条件，重特征值则需要进一步检查特征空间。

\begin{gathered}\chi_T(t)=\prod_{j=1}^{s}(t-\lambda_j)^{a_j}\\[.5em]\text{可对角化}\iff\dim E_{\lambda_j}=a_j\quad\text{对所有 }j\end{gathered}

这里始终需要 $\lambda$ 属于所讨论的标量域。特征多项式在实数域上可能不能完全分解为一次因式，扩到复数域后总能分解，但仍须检查特征空间维数。同一个实矩阵在 $\mathbb{R}$ 与 $\mathbb{C}$ 上的可对角化结论可能不同。