3.5 逆矩阵与逆映射

第一章用消元法解 $Ax=b$ 。从几何上看，这个问题是在问：哪一个输入向量 $x$ ，经过矩阵 $A$ 对应的变换以后，会落到给定的输出 $b$ ？如果原来的变换能被完整撤销，就可以直接把 $b$ 送回对应的输入。

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把

Ax=b

看成寻找原像：矩阵描述整个空间的变换，未知向量是产生指定输出的输入。3Blue1Brown ·《线性代数的本质》第7集 02:47–02:58 · 英语原声／原版中文字幕

对于 $n\times n$ 方阵 $A$ ，若存在矩阵 $B$ ，使 $AB=BA=I_n$ ，就称 $A$ 可逆， $B$ 称为 $A$ 的逆矩阵，记作 $A^{-1}$ 。单位矩阵 $I_n$ 对应把每个向量留在原处的变换，因而这两个等式表示：两个变换按任一种次序执行，都能完整还原。逆矩阵若存在就是唯一的。

AA^{-1}=A^{-1}A=I_n

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逆变换把变形后的网格送回原来的网格，每个点也同时回到原处。3Blue1Brown ·《线性代数的本质》第7集 04:15–04:25 · 英语原声／原版中文字幕

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原变换与逆变换复合后，对所有向量都没有净作用，对应单位矩阵。3Blue1Brown ·《线性代数的本质》第7集 04:43–05:18 · 英语原声／原版中文字幕

一般地，映射 $T:V\to W$ 的逆映射 $T^{-1}:W\to V$ ，将每个输出还原成唯一的输入。它存在时， $T$ 必须既是单射又是满射。对任意 $v\in V$ 、 $w\in W$ ，都有：

T^{-1}(T(v))=v,\qquad T(T^{-1}(w))=w

可逆的线性映射，其逆映射也线性。特别地，若 $T(x)=Ax$ 且 $A$ 是可逆方阵，就有 $T^{-1}(b)=A^{-1}b$ 。因此解方程组可以理解为先找到逆变换，再把它作用于右侧常数列：

Ax=b\quad\Longleftrightarrow\quad x=A^{-1}b

为什么压缩后的变换不能完整撤销

回到 3.3 中把平面压到直线的矩阵 $C$ 。不同输入可能产生同一个输出，也有非零向量被送到零向量：

\begin{gathered} C=\begin{bmatrix}2&-2\\1&-1\end{bmatrix}\\[.5em] C\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=C\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix},\qquad C\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix} \end{gathered}

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图中整条输入直线都被送到零向量。核里有非零向量，意味着输入信息被丢失。3Blue1Brown ·《线性代数的本质》第7集 10:45–10:54 · 英语原声／原版中文字幕

仅凭输出，无法唯一判断原来的输入，因而不存在把整个平面完整还原的逆变换。这与 3.1 中“核只有零向量才是单射”的判据一致。

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目标在实际输出的直线上时可以找到原像；目标在直线外时，方程组无解。3Blue1Brown ·《线性代数的本质》第7集 07:26–07:41 · 英语原声／原版中文字幕

对于这个 $C$ ，所有输出都是 $\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$ 的倍数。右侧常数列不在这条直线上时无解；在这条直线上时，输入可以沿核中的方向改变而保持输出不变，因此有无穷多解。不可逆并不等于所有方程组都无解。

实际求逆主要使用初等行变换法：它利用已经学过的消元步骤，通常比展开通用公式方便。几何图像解释为什么逆变换存在，消元法则把对应的逆矩阵算出来。

主要方法 · 初等行变换法求逆

将 $A$ 与同阶单位矩阵并排写成 $[A | I]$ ，对整张增广矩阵做初等行变换。若左半部分变成 $I$ ，右半部分就是 $A^{-1}$ 。只做行变换，左右两块必须同步。

[A\mid I]\xrightarrow{\text{初等行变换}}[I\mid A^{-1}]

\begin{gathered}[A | I] = \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 1\end{array}\right]\\[.5em] R_{2} \leftarrow R_{2} - R_{1}\\[.5em] [A_{1} | B_{1}] = \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1\end{array}\right]\\[.5em] R_{1} \leftarrow R_{1} - 2R_{2}\\[.5em] [I | A^{-1}] = \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 1\end{array}\right]\end{gathered}

于是 $A^{-1} = \begin{bmatrix}3 & -2 \\ -1 & 1\end{bmatrix}$ 。验证时应检查 $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ 。若左半部分无法化成 $I$ ，则 $A$ 不可逆。

原理是所有行变换合起来等于左乘某个可逆矩阵 $E$ 。左半部分化成 $I$ 表示 $EA = I$ ，所以 $E = A^{-1}$ ；右半部分原来是 $I$ ，经过同样的操作后恰好变成 $EI = E$ 。

公式补充 · 伴随矩阵求逆

这个公式使用行列式与伴随矩阵两个记号。 $\det(A)$ 是从方阵 $A$ 计算出的一个数，称为行列式。对于一阶矩阵， $\det([a])=a$ 。对于二阶及以上矩阵，删去第 $i$ 行、第 $j$ 列得到小一阶的方阵 $A_{ij}$ ，令 $C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(A_{ij})$ ，称为代数余子式。

将全部 $C_{ij}$ 按原来的行列位置排成矩阵，再把行与列互换（称为转置，记作上标 $\mathsf T$ ），就得到伴随矩阵 $\operatorname{adj}(A)$ 。行列式可按第一行递归计算：一阶时约定 $\operatorname{adj}([a])=[1]$ 。

\begin{gathered} \det(A)=a_{11}C_{11}+\cdots+a_{1n}C_{1n}\\[.5em] \operatorname{adj}(A)=(C_{ij})^{\mathsf T}\\[.5em] A\operatorname{adj}(A)=\operatorname{adj}(A)A=\det(A)I_n \end{gathered}

因此，行列式非零时，除以这个数就能得到逆矩阵：

A^{-1}=\frac{\operatorname{adj}(A)}{\det(A)},\qquad \det(A)\ne0

二阶时可以直接写出全部计算；分母为 0 时不能使用这个除法，而且矩阵不可逆：

\begin{gathered} A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix},\qquad \det(A)=ad-bc\\[.6em] \operatorname{adj}(A)=\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\\[.6em] A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\quad(ad-bc\ne0) \end{gathered}

这里先说明公式的各个符号与二阶算法；行列式的系统性质和一般求法将在第五章展开。通常的求逆计算仍以增广矩阵消元为主。

复合变换求逆时，撤销的次序要反过来。 $AB$ 是先 $B$ 、后 $A$ ，恢复时先撤销 $A$ ，再撤销 $B$ ，所以：

\begin{gathered}(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \\ (A^{\mathsf T})^{-1} = (A^{-1})^{\mathsf T} \\ (A^{-1})^{-1} = A \\ \text{（} A \text{、} B \text{都是同阶可逆方阵）}\end{gathered}

对有限维空间上的同阶方阵，还有等价说法： $A$ 可逆，当且仅当它能通过初等行变换化为 $I$ ，也当且仅当它是若干初等矩阵的乘积。同阶方阵若满足 $AB=I$ ，就也满足 $BA=I$ ；长方矩阵的单侧等式不能直接当作这里的双侧逆。