1.8 初等行列变换与初等变换矩阵

初等列变换与行变换对应：交换两列、把一列乘非零数、把一列的倍数加到另一列。用 $C_{j}$ 表示第 $j$ 列。初等行、列变换都能通过矩阵乘法表示。

对 $m$ 阶单位矩阵 $I_m$ 做一次初等行变换，得到初等矩阵 $E$ 。对 $m\times n$ 矩阵 $A$ 左乘 $E$ ， $EA$ 就是在 $A$ 上做同样的行变换。对 $I_n$ 做一次初等列变换得到初等矩阵 $F$ ，则右乘得到的 $AF$ 就是在 $A$ 上做同样的列变换。左乘时初等矩阵的阶数等于 $A$ 的行数，右乘时等于 $A$ 的列数。

\begin{gathered} EA \text{：} E \text{对应的变换} \text{作用于} A \text{的行} \\ AF \text{：} F \text{对应的变换} \text{作用于} A \text{的列}\end{gathered}

三类初等矩阵与行、列操作的对应关系

下面用三阶矩阵把三种类型明确写出。它们都从三阶单位矩阵出发，只改变对应的行或列；其他阶数的写法相同，只需换成相应大小的单位矩阵。

第一类：交换型。交换单位矩阵的第 1、2 行，或交换第 1、2 列，都会得到下面这个矩阵。左乘它交换行，右乘它交换列：

\begin{gathered}E=F=\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\\[.7em] EA:\ R_1\leftrightarrow R_2\\[.4em] AF:\ C_1\leftrightarrow C_2 \end{gathered}

第二类：倍乘型。把单位矩阵的第 1 行或第 1 列乘非零数 $\lambda$ ，只需把左上角的 1 改成 $\lambda$ ：

\begin{gathered}E=F=\begin{bmatrix}\lambda&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix},\qquad\lambda\ne0\\[.7em] EA:\ R_1\leftarrow\lambda R_1\\[.4em] AF:\ C_1\leftarrow\lambda C_1 \end{gathered}

第三类：倍加型。把第 1 行的 $\lambda$ 倍加到第 2 行，与把第 1 列的 $\lambda$ 倍加到第 2 列，对应的初等矩阵分别如下。注意 $\lambda$ 所在的位置：

\begin{array}{cc}\text{对第 2 行做倍加}&\text{对第 2 列做倍加}\\[.6em] E=\begin{bmatrix}1&0&0\\\lambda&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} &F=\begin{bmatrix}1&\lambda&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\\[.7em] EA:\ R_2\leftarrow R_2+\lambda R_1 &AF:\ C_2\leftarrow C_2+\lambda C_1 \end{array}

一般地，左乘实现 $R_i\leftarrow R_i+\lambda R_j$ 时，把 $\lambda$ 填在单位矩阵的第 $i$ 行、第 $j$ 列；右乘实现 $C_i\leftarrow C_i+\lambda C_j$ 时，则填在第 $j$ 行、第 $i$ 列，其余元素保持单位矩阵的样子。

多次行变换对应连续左乘，多次列变换对应连续右乘。矩阵乘法的顺序一般不能交换，应按照实际操作的先后次序写出：

\begin{gathered}\text{先左乘} E_{1} \text{，再左乘} E_{2} \text{：} E_{2}E_{1}A \\ \text{先右乘} F_{1} \text{，再右乘} F_{2} \text{：} AF_{1}F_{2}\end{gathered}

例 · 连续左乘：后做的行变换写在更左边

仍用前面的 $A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$ 。先把第 1 行乘 2，再把新的第 1 行加到第 2 行。两个初等矩阵分别是：

E_1=\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix},\qquad E_2=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}

\begin{aligned}E_1A&=\begin{bmatrix}2&4\\3&4\end{bmatrix}\\[.8em] E_2(E_1A)=E_2E_1A&=\begin{bmatrix}2&4\\5&8\end{bmatrix}\end{aligned}

第二次操作作用在第一次操作得到的矩阵上，因此先做的行变换对应的矩阵更靠近 $A$ 。如果把两次操作换个顺序，结果会变成：

E_1(E_2A)=E_1E_2A=\begin{bmatrix}2&4\\4&6\end{bmatrix}\ne E_2E_1A

例 · 连续右乘：按列操作的先后顺序向右写

对同一个 $A$ ，先把第 1 列乘 2，再把新的第 1 列加到第 2 列。两个初等矩阵分别是：

F_1=\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix},\qquad F_2=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}

\begin{aligned}AF_1&=\begin{bmatrix}2&2\\6&4\end{bmatrix}\\[.8em] (AF_1)F_2=AF_1F_2&=\begin{bmatrix}2&4\\6&10\end{bmatrix}\end{aligned}

后一次列操作继续乘在右边，因此乘积中的 $F_1,F_2$ 按操作的先后次序排列。交换这两次操作，也会得到不同结果：

(AF_2)F_1=AF_2F_1=\begin{bmatrix}2&3\\6&7\end{bmatrix}\ne AF_1F_2

在解线性方程组 $Ax=b$ 时，一次初等行变换同时作用于系数和右侧常数。用矩阵乘法表示，就是 $EAx=Eb$ 。

初等变换矩阵对满秩矩阵（会在第四章中提及）有一个重要结论：任何满秩矩阵一定可以被写成若干个初等变换矩阵的乘积。