7.2 实二次型的规范形

标准形消去了混合项，但平方项的系数大小仍可不同。对每个非零系数再缩放变量，可以把它化为 $+1$ 或 $-1$ ；系数为 0 的项保留。这种只含 $+1$ 、 $-1$ 、0 系数的标准形，称为实二次型的规范形。

\begin{gathered}f = d_{1}y_{1}^{2} + \cdots + d_{n}y_{n}^{2}\\[.5em] d_{i} \ne 0 \text{时，令} z_{i} = \sqrt{\lvert d_{i}\rvert} \cdot y_{i} \\ d_{i} = 0 \text{时，令} z_{i} = y_{i}\\[.5em] d_{i}y_{i}^{2} = z_{i}^{2} \text{（} d_{i} > 0 \text{）} \\ d_{i}y_{i}^{2} = -z_{i}^{2} \text{（} d_{i} < 0 \text{）}\end{gathered}

所有缩放因子都非零，因此替换可逆。把正项排在前面、负项放在后面、零项放在最后，可写成：

\begin{gathered}f = \sum_{i=1}^{p} z_{i}^{2} \\ - \sum_{i=p + 1}^{p + q} z_{i}^{2} \\ + 0\cdot \sum_{i=p + q + 1}^{n} z_{i}^{2}\\[.5em] \text{规范形矩阵：} \operatorname{diag}(I_{p}, -I_q, O_{s}) \\ p + q + s = n\end{gathered}

$p$ 称为正惯性指数， $q$ 称为负惯性指数， $s$ 是零项个数。二次型的秩定义为其对称矩阵的秩，等于 $p + q$ ； $p - q$ 称为符号差。某种项没有出现时，相应个数为 0。

惯性定理：同一个实二次型经过任何可逆实线性替换化成标准形时，正、负、零系数的个数都不变。因此，在上述排列约定下规范形唯一，但达到它的变量替换通常不唯一。标准形中系数的大小可以变，正负项的数量不能变。

例二 · 不同标准形给出同一规范形

上一节同一个二次型分别得到 $2y_{1}^{2} + 3y_{2}^{2}$ 和 $z_{1}^{2} + 6z_{2}^{2}$ 。对前者令 $u_{1} = \sqrt{2}\cdot y_{1}$ 、 $u_{2} = \sqrt{3}\cdot y_{2}$ ；对后者令 $w_{1} = z_{1}$ 、 $w_{2} = \sqrt{6}\cdot z_{2}$ 。两者都化为两个正平方项之和。

\begin{gathered}\text{规范形：} u_{1}^{2} + u_{2}^{2} \\ p = 2 \text{，} q = 0 \text{，} s = 0 \text{，} \operatorname{rank}(A) = 2\end{gathered}

系数 2、3 或 1、6 是不同的标准形数据，但惯性指数相同。这也说明“标准形”与“规范形”是两个不同层次的简化。

通过可逆线性替换得到另一二次型时，称两个二次型等价；对于对应的对称矩阵，这与合同完全对应。

两个同元数的实二次型等价，当且仅当它们的正、负惯性指数分别相同。对于实对称矩阵，也可以用正、负、零特征值的个数读取这些数据，其中特征值按重数计算。