6.4 正交对角化

先回顾这里需要的两个几何概念。实列向量 $u$ 、 $v$ 的内积是 $u^{\mathsf T}v = \sum u_{i}v_{i}$ ；两个非零向量内积为 0 时彼此正交，也就是垂直。向量长度为 $\lVert v\rVert = \sqrt{v^{\mathsf T}v}$ ，将非零向量除以它的长度，就得到单位向量。

若方阵 $Q$ 的各列都是单位向量，而且不同列两两正交，就称 $Q$ 为正交矩阵。它满足 $Q^{\mathsf T}Q = I$ ，因此 $Q^{-1} = Q^{\mathsf T}$ 。若这样的 $Q$ 能把 $A$ 化成对角矩阵，就称 $A$ 可以正交对角化：

\begin{gathered}Q^{\mathsf T}Q = I \text{，} Q^{-1} = Q^{\mathsf T}\\[.5em] Q^{\mathsf T}AQ = D \\ \text{等价地：} A = QDQ^{\mathsf T}\end{gathered}

实对称矩阵的谱定理：每个实对称矩阵都可以正交对角化。也就是说，若 $A^{\mathsf T} = A$ ，就一定能找到由实特征向量组成的标准正交基。定理的证明暂时略过，下面只通过一个例子展示计算过程。

例 · 一个实对称矩阵的正交对角化

\begin{gathered}S = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{bmatrix}\\[.5em] S^{\mathsf T} = S \\ p_S(\lambda ) = (\lambda - 2)^{2} - 1 \\ = (\lambda - 3)(\lambda - 1)\end{gathered}

先求各特征空间： $\lambda = 3$ 时得到 $y = x$ ； $\lambda = 1$ 时得到 $y = -x$ 。于是可以取：

\begin{gathered}v_{1} = (1, 1)^{\mathsf T} \text{，} Sv_{1} = 3v_{1} \\ v_{2} = (1, -1)^{\mathsf T} \text{，} Sv_{2} = v_{2}\\[.5em] v_{1}^{\mathsf T}v_{2} = 1 - 1 = 0 \\ \lVert v_{1}\rVert = \lVert v_{2}\rVert = \sqrt{2}\end{gathered}

这两个特征向量已经正交，但还不是单位向量。分别除以 $\sqrt{2}$ ，得到 $q_{1}$ 、 $q_{2}$ ，再按列组成 $Q$ ：

\begin{gathered}q_1=\frac1{\sqrt2}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix},\\[.5em]q_2=\frac1{\sqrt2}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix},\\[.5em]Q=\frac1{\sqrt2}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix},\\[.5em]D=\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}\end{gathered}

\begin{gathered}q_{1}^{\mathsf T}q_{1} = q_{2}^{\mathsf T}q_{2} = 1 \text{，} q_{1}^{\mathsf T}q_{2} = 0 \\ Q^{\mathsf T}Q = I \\ SQ = QD \\ Q^{\mathsf T}SQ = D \text{，} S = QDQ^{\mathsf T}\end{gathered}

在原平面里，两条特征轴是 $y = x$ 与 $y = -x$ ，彼此垂直。 $S$ 沿第一条轴把向量伸长到 3 倍，沿第二条轴保持不变；换成 $q_{1}$ 、 $q_{2}$ 这组正交坐标后，就得到对角矩阵 $D$ 。

实对称矩阵中，不同特征值对应的特征向量自动正交。如果出现重特征值，则要在它的特征空间中选一组正交基，再把每个向量单位化；不能认为这个空间里随意取的向量都两两正交。具体的正交化方法留到后续章节。

计算步骤为：求全部特征值；分别求各特征空间的基；在每个特征空间内部作施密特正交化并单位化；按同一顺序组成 $Q$ 和 $D$ 。不同特征空间之间已经正交，不需要跨空间混合。

反过来，实矩阵若能正交对角化，则 $A = QDQ^{\mathsf T}$ 必为实对称矩阵。因此在实数范围内，“实对称”与“可正交对角化”等价。这里继续略去谱定理的证明。

正交对角化要求特征向量基既线性无关，又标准正交。一般可对角化矩阵只保证前者，例如上一节 $A = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$ 的两个特征方向并不垂直。使用正交矩阵的好处是换坐标时保持长度和夹角，而且求逆只需转置。