5.2行列式的正负：空间定向

面积本身不会是负数，行列式却可以为负。负号记录的是空间定向的翻转。平面的标准基按 $(e_1,e_2)$ 排列，从 $e_1$ 转向 $e_2$ 的较小转角是逆时针；这个先后次序规定了平面的正定向。

变换后，按相同顺序观察 $(Ae_1,Ae_2)$：若从第一个向量转向第二个向量的较小转角仍是逆时针，定向保持，行列式为正；若变为顺时针，定向翻转，行列式为负。两向量共线时围不出面积，行列式为零。

再举个例子，旋转与翻转是不一样的。平面旋转会同时移动两个基向量，却保持它们的定向，行列式为 $1$。关于横轴的镜面反射只把纵向翻过来，行列式为 $-1$。把两个坐标方向同时反向，等价于在平面中旋转半周，行列式反而是 $1$。

把行列式的正负与线性变换是否会翻转空间联系在一起是有道理的。