1.3 线性方程组可以转化成矩阵运算

线性方程中，未知数只以一次项出现，不出现未知数之间的乘积。固定未知数的排列顺序后，将每个方程的系数按行排好，就得到系数矩阵 $A$ 。把只有一列的矩阵称为列向量：未知数排成列向量 $x$ ，等号右边的常数排成列向量 $b$ 。以 $m$ 个方程、 $n$ 个未知数为例，先写出方程组，再把其中的系数、未知数和常数分别排成下面的形式：

\begin{gathered}\begin{cases}a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\ \qquad\vdots\\a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}\\[.6em]Ax=b\end{gathered}

\begin{gathered} A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{bmatrix}\\[.8em] x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix},\qquad b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{bmatrix} \end{gathered}

根据矩阵乘法， $Ax$ 的每个元素正是相应方程的左边，因此整个方程组便写成 $Ax=b$ 。

$m$ 个方程、 $n$ 个未知数对应 $m \times n$ 的 $A$ 、 $n \times 1$ 的 $x$ 和 $m \times 1$ 的 $b$ 。把 $b$ 追加在 $A$ 的右侧，得到增广矩阵 $[A | b]$ ，大小为 $m \times (n + 1)$ 。竖线只是用来分隔系数与常数。缺少某个未知数的项时，该位置的系数写 0。