2.2 线性相关与线性无关

先讨论有限个向量 $v_1,\ldots,v_k$ 。把每个向量乘上一个标量，再相加，得到的 $c_1v_1+\cdots+c_kv_k$ 叫这些向量的线性组合。若一个向量 $w$ 等于这样的式子，就说 $w$ 能由这组向量线性表出； $c_1,\ldots,c_k$ 叫组合系数。

让一个线性组合等于零向量，就得到下面的等式。把所有系数都取 0，总能使等式成立；我们关心是否还有其他系数取法。

c_{1}v_{1} + \cdots + c_{k}v_{k} = 0_V

如果这个等式只有在 $c_1=\cdots=c_k=0$ 时成立，就称这组向量线性无关。如果存在不全为 0 的系数使等式成立，就称这组向量线性相关。“不全为 0”只要求至少一个系数不为 0，并不要求每个系数都非零。

线性相关时，可以选一个非零系数，把它对应的向量移到等式一边，再除以这个系数，就把这个向量用其余向量线性表出了。反过来，如果某个向量能由其余向量线性表出，移项后就得到一个系数不全为 0 的关系式。

取下面三个向量。它们满足一个系数不全为 0 的关系式，因此线性相关：

\begin{gathered} v_1=(1,0),\quad v_2=(0,1),\quad v_3=(2,3)\\[.5em] 2v_1+3v_2-v_3=(0,0) \end{gathered}

因为 $v_3$ 的系数是非零的 $-1$ ，移项就得到 $v_3=2v_1+3v_2$ 。也可以选取系数为 2 的 $v_1$ ，移项后再除以 2：

v_1=-\frac32v_2+\frac12v_3

反过来，从 $v_3=2v_1+3v_2$ 出发，移项便得到上面的相关关系；其中 $v_3$ 的系数为 $-1$ ，所以这些系数不全为 0。这就把“线性相关”与“某个向量能由其余向量线性表出”联系起来。

含有零向量的一组向量必定线性相关；单独一个非零向量线性无关。判断三个或更多向量时，不能只检查两两是否成比例，例如 $(1, 0)$ 、 $(0, 1)$ 、 $(1, 1)$ 两两不成比例，但第三个等于前两个之和。

极大线性无关组的定义是：从给定向量组中选出一个线性无关的部分组，而把原组中其余任意一个向量加入后都会线性相关。

\text{极大线性无关组：本身线性无关，并能线性表出原组全部向量}

同一个向量组中极大线性无关组可以有不同选法，但所含向量的个数相同。选取时，遇到能由已选向量线性表出的向量，就不用再加入。

约定不含向量的空组也是线性无关的。