5.1从体积的变化认识行列式

我们考虑由矩阵左乘诱导的线性映射 $x\mapsto Ax$。除了追踪单个向量的去向，我们还可以观察原空间的一个物体，在变换前后，体积发生了多少变化。

行列式就是用来记录这种体积缩放的数。一个方阵的行列式是一个数，几何上可以被理解为，由该方阵左乘诱导的线性映射，会使体积发生多少倍的变化。方阵 $A$ 的行列式记为 $\det A$，也写作 $|A|$。

视频中只考虑了单位正方形的体积发生了多少变化。那为什么只看单位正方形就够了？事实上，同一线性空间的不同物体，在同一个线性变换后，体积放大/缩小的比例是一致的，不会出现比如一个物体放大3倍而另外一个物体放大4倍这种情况。

如果整个平面被压到一条直线上，原来有面积的区域也会变成线段，面积全部归零。此时面积的缩放倍数为 $0$，所以行列式为 $0$。压到原点也是同样的道理。