8.3商空间

设 $U$ 是 $F$ 上线性空间 $V$ 的子空间。商空间把“只相差 $U$ 中一个向量”的元素视为同一类：如果 $v - w \in U$，就认为 $v$、$w$ 代表相同的商空间元素。

$v + U$ 称为 $v$ 关于 $U$ 的陪集，也就是这个等价关系下的一类。它通常是一条平移后的直线或一个平移后的平面。商空间的一个元素是整个等价类，$v$ 只是选来表示这一类的代表元。$V/U$ 不是数的除法，也不是把 $U$ 的元素从 $V$ 中删掉。

两个陪集相同当且仅当代表元之差在 $U$ 中。不同陪集没有公共元素。加法与数乘通过代表元定义，并且结果不能依赖于代表元的选择：

为什么运算定义合理？若 $v' - v$、$w' - w$ 都在 $U$ 中，则 $(v' + w') - (v + w)$ 仍在 $U$ 中，$\alpha v' - \alpha v$ 也在 $U$ 中，因为 $U$ 对加法与数乘封闭。因此换代表元不会改变所得的陪集。

自然映射 $\pi$：$V \to V/U$，$\pi (v) = v + U$，是满射线性映射，其核正是 $U$。有限维时，商空间维数等于原空间维数减去被视为零的子空间维数：

计算商空间的基时，先取 $U$ 的一组基，再扩充成 $V$ 的基。原有基向量的陪集都是零元素，补入的基向量所对应的陪集则构成 $V/U$ 的一组基。例如水平平面 $U$ 的基为 $e_{1}$、$e_{2}$，补入 $e_{3}$ 后，商空间的一组基只有 $e_{3} + U$。

如果选了一个补空间 $W$，使 $V = U \oplus W$，那么每个陪集恰有一个代表元在 $W$ 中；映射 $w \mapsto w + U$ 给出 $W$ 与 $V/U$ 的同构。补空间的选择可以不同，但商空间的定义并不依赖这种选择。

$\dim (V/U)$称为$U$在$V$中的余维数（当这个数有限时）。即使$V$和$U$都无限维，余维数仍可能有限。例如$\mathbb{R}[t]$中由所有$t^{n}q(t)$组成的子空间$t^{n}\mathbb{R}[t]$，其商空间由1、$t$、$\ldots$、$t^{n-1}$的陪集构成一组基，维数为$n$。

商空间还可以用来消去线性映射中被压到零的方向。对任意线性映射 $T$：$V \to W$，都有第一同构定理：

同一陪集的代表元之差在 $\ker (T)$ 中，因此它们的像相同，这个对应定义良好。目标是实际的像空间 $\operatorname{Im}(T)$；只有 $T$ 满射时，才能直接写成与整个 $W$ 同构。