9.7 幂零变换的 Jordan 标准形

若 $N^{k} = 0$ 对某个正整数 $k$ 成立，就称 $N$ 为幂零变换，使其成立的最小正整数称为幂零指数。幂零变换把向量逐次送到零，其结构可以由这种逐级变化的向量链描述。

\begin{gathered}Nv_{1} = 0 \\ Nv_{2} = v_{1} \\ \vdots \\ Nv_{k} = v_{k-1} \text{，} v_{1} \ne 0\end{gathered}

一条这样的链线性无关，张成一个 $N$ 的不变子空间，称为强循环子空间。在按 $v_{1},\ldots ,v_{k}$ 排列的基下， $N$ 的矩阵是主对角线为 0、紧邻其上的一条对角线全为 1 的 Jordan 块：

\begin{gathered}J_{3}(0) = \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\\[.5em] J_{k}(0)^{k} = 0 \text{，} J_{k}(0)^{k-1} \ne 0\end{gathered}

结构定理说明：有限维空间上的幂零变换，总能把空间分解成若干强循环子空间的直和。把各条链的基合起来，就得到它的 Jordan 标准形；除各块的排列顺序外，这个形状唯一。

\begin{gathered}[N]=\operatorname{diag}(J_{k_1}(0),\ldots,J_{k_r}(0))\\\sum_{i=1}^{r}k_i=n\\\text{块的总数}=\dim\ker N\\\text{最大的块阶数}=\text{幂零指数}\end{gathered}

各阶块的数量可以直接由幂的秩算出。令 $r_{k} = \operatorname{rank}(N^{k})$ ，并约定 $r_{0} = n$ ，则恰好 $k$ 阶的块的个数为下式。各块之所以能被确定，是因为一个 $s$ 阶块的 $k$ 次幂的秩恰为 $\max (s - k,0)$ 。

\begin{gathered}\text{恰好} k \text{阶的块数} b_{k} = r_{k-1} - 2r_{k} + r_{k+1}\\[.5em] d_{k} = \dim \ker (N^{k}) \text{，} d_{0} = 0 \text{时：} \\ \text{至少} k \text{阶的块数} = d_{k} - d_{k-1}\end{gathered}

计算时先求 $N$ 、 $N^{2}$ 、 $\ldots$ 的秩，确定块数及阶数；再选择链顶向量 $w$ ，按 $N^{k-1}w,\ldots ,Nw,w$ 的顺序形成链。各条链合并后须线性无关并张成全空间，才能组成 Jordan 基。