2.4 线性空间及其基、维数的例子

例二 · $\mathbb R^3$ 中的一个平面

W=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:x+y+z=0\}

两个满足这个等式的向量相加，结果仍满足等式；把一个这样的向量数乘，结果也仍满足等式。它还包含零向量，因此是线性子空间。

\begin{gathered}(x,y,z)=(s,t,-s-t)\\[.4em] =s(1,0,-1)+t(0,1,-1),\qquad s,t\in\mathbb R \end{gathered}

这两个固定向量张成 $W$ 。若 $\alpha(1,0,-1)+\beta(0,1,-1)=(0,0,0)$ ，前两个分量立即给出 $\alpha=\beta=0$ ，所以它们线性无关，因而是 $W$ 的一组基， $\dim W=2$ 。虽然向量有三个分量，这个空间的维数是 2。

例三 · 所有 $2 \times 2$ 实矩阵

所有 $2 \times 2$ 实矩阵组成线性空间 $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ ，运算就是第一章的矩阵加法与数乘。令 $E_{ij}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列为1、其他位置为0的矩阵，称为基本矩阵，也常叫矩阵单位：

\begin{gathered}E_{11} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\\[.5em] E_{12} = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\\[.5em] E_{21} = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\\[.5em] E_{22} = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\end{gathered}

\begin{gathered}M = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}\\[.5em] M = aE_{11} + bE_{12} + cE_{21} + dE_{22}\end{gathered}

若这四个矩阵的线性组合等于零矩阵，比较四个位置就知道四个系数都必须为 0，因此它们线性无关。上面的式子又能表示任意一个 $2\times2$ 实矩阵，所以它们是一组基， $\dim M_{2\times2}(\mathbb R)=4$ 。一般地，所有 $m\times n$ 实矩阵组成的空间维数为 $mn$ 。这里的矩阵单位按“一个位置为 1、其余为 0”定义，与第一章从单位矩阵做一次初等变换得到的初等矩阵要区分。