1.5 矩阵的初等行变换

我们考虑对增广矩阵做变换来表示消元法的过程。为了理解这个过程，首先说明什么是矩阵的初等行变换。把矩阵第 $i$ 行记为 $R_i$ 。初等行变换一共有三种：

\begin{aligned} R_i\leftrightarrow R_j &\quad\text{交换第 }i\text{ 行与第 }j\text{ 行}\\[.7em] R_i\leftarrow\lambda R_i\quad(\lambda\ne0) &\quad\text{把第 }i\text{ 行的每个元素乘非零数 }\lambda\\[.7em] R_i\leftarrow R_i+\lambda R_j\quad(i\ne j) &\quad\text{把第 }j\text{ 行的 }\lambda\text{ 倍加到第 }i\text{ 行} \end{aligned}

对增广矩阵做这些操作，分别对应交换方程、方程两边同乘非零数，以及把一个方程的倍数加到另一个方程上。消元法就是用初等行变换逐步消去系数：两者做的是同一件事，只是记法不同。

左边对方程进行消元，右边对同一个方程组的增广矩阵进行行变换。每一行的两种写法表示同一个操作。

\begin{array}{c|c} \text{方程组的消元}&\text{增广矩阵的行变换}\\[.6em] \begin{cases}\text{①}\ x+y=3\\\text{②}\ 2x+y=4\end{cases} &\left[\begin{array}{cc|c}1&1&3\\2&1&4\end{array}\right]\\[.7em] \text{②}\leftarrow\text{②}-2\text{①}&R_2\leftarrow R_2-2R_1\\[.5em] \begin{cases}x+y=3\\-y=-2\end{cases} &\left[\begin{array}{cc|c}1&1&3\\0&-1&-2\end{array}\right]\\[.7em] \text{②}\leftarrow-\text{②}&R_2\leftarrow-R_2\\[.5em] \begin{cases}x+y=3\\y=2\end{cases} &\left[\begin{array}{cc|c}1&1&3\\0&1&2\end{array}\right]\\[.7em] \text{①}\leftarrow\text{①}-\text{②}&R_1\leftarrow R_1-R_2\\[.5em] \begin{cases}x=1\\y=2\end{cases} &\left[\begin{array}{cc|c}1&0&1\\0&1&2\end{array}\right] \end{array}

因此，交换方程、倍乘方程、把一个方程的倍数加到另一个方程上，与相应的初等行变换完全对应。整个过程中方程组的解不变。