9.3 线性映射和线性变换的矩阵表示

设 $\dim V = n$ 、 $\dim W = m$ ，在两边分别选定有序基 $B = (v_{1},\ldots ,v_{n})$ 、 $C = (w_{1},\ldots ,w_{m})$ 。把 $T(v_{j})$ 在 $C$ 下的坐标作为第 $j$ 列，就得到 $T$ 的 $m \times n$ 表示矩阵 $A$ 。

\begin{gathered}T(v_{j}) = \sum_{i=1}^{m} a_{ij}w_{i} \\ A = (a_{ij})\\[.5em] [T(v)]_C = A[v]_B\end{gathered}

在固定的两组基下，映射与表示矩阵一一对应，且这个对应保持加法、数乘及适当的复合。于是 $\operatorname{Hom}(V,W)$ 与 $m \times n$ 矩阵空间同构，其维数为 $mn$ ；同一基下， $\operatorname{Hom}(V,V)$ 与 $n$ 阶矩阵代数同构。变换的秩等于表示矩阵的秩。

\begin{gathered}[S + T] = [S] + [T] \\ [cT] = c[T] \\ [ST] = [S][T] \\ \operatorname{rank}(T) = \operatorname{rank}(A) \\ \dim \operatorname{Hom}(V,W) = mn\end{gathered}

坐标矩阵依赖于基。若新旧坐标满足 $[v]_B = P[v]_{B'}$ 、 $[w]_C = Q[w]_{C'}$ ，同一个映射在新基下的矩阵为 $Q^{-1}AP$ 。对于 $V$ 上的线性变换，定义域与目标空间使用同一组基，换基就得到相似矩阵 $P^{-1}AP$ 。

\begin{gathered}\text{一般线性映射：} A' = Q^{-1}AP \\ \text{同一空间上的线性变换：} A' = P^{-1}AP\end{gathered}

简例 · 按基向量的像逐列写矩阵

令 $T(x,y) = (x + 2y,y)$ 。定义域取基 $B = ((1,0),(1,1))$ ，目标空间取基 $C = ((1,1),(0,1))$ 。

\begin{gathered}T(1,0) = (1,0) = 1(1,1) - 1(0,1) \\ T(1,1) = (3,1) = 3(1,1) - 2(0,1)\\[.5em] A = \begin{bmatrix}1 & 3 \\ -1 & -2\end{bmatrix}\end{gathered}

$v = (2,1)$ 在 $B$ 下的坐标是 $(1,1)^{\mathsf T}$ 。左乘 $A$ 得到 $(4,-3)^{\mathsf T}$ ，这是 $T(v)$ 在 $C$ 下的坐标；还原为 $4(1,1) - 3(0,1) = (4,1)$ ，与直接计算一致。

相似矩阵是同一个线性变换在不同基下的表示，因而具有相同的特征多项式、最小多项式及标准形。研究线性变换的结构，可以转化为寻找适合的基与相似矩阵。