2.1 线性空间的定义

“线性空间”可以从“空间”和“线性”两部分来理解。这里先把“空间”理解为一个由研究对象组成的集合；“线性”则说明这些对象之间的运算满足怎样的规律。要定义一个线性空间，需要同时指定下面四个部分。

指定这四个部分后，还要检验下面十条性质：两条封闭性，以及八条线性性质。下面 $u,v,w$ 表示 $V$ 中任意的元素， $\lambda,\mu$ 表示 $F$ 中任意的标量。

八条线性性质

③ 加法交换律。交换两个元素相加的顺序，结果不变：

u+v=v+u

④ 加法结合律。三个元素相加时，先加哪两个，结果相同：

(u+v)+w=u+(v+w)

⑤ 加法单位元（零向量）的存在性。集合 $V$ 中存在一个元素 $0_V$ ，与任意向量相加都不改变这个向量；这个元素称为零向量：

v+0_V=v

⑥ 加法逆元（负向量）的存在性。对每一个 $v\in V$ ，集合 $V$ 中都存在一个元素 $-v$ ，使两者相加得到零向量；这个元素称为 $v$ 的负向量：

v+(-v)=0_V

⑦ 数乘的单位律。用数域中的 1 数乘任意向量，向量不变：

1v=v

⑧ 数乘的结合律。连续进行两次数乘，等于先把两个标量相乘，再数乘这个向量：

\lambda(\mu v)=(\lambda\mu)v

⑨ 数乘对向量加法的分配律。先把两个向量相加再数乘，等于分别数乘后再相加：

\lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v

⑩ 数乘对标量加法的分配律。先把两个标量相加再数乘一个向量，等于用这两个标量分别数乘后再相加：

(\lambda+\mu)v=\lambda v+\mu v

当上述十条性质全部满足时，我们就把集合 $V$ 、数域 $F$ 、加法与数乘这四个部分组成的整体，称为数域 $F$ 上的线性空间，也叫向量空间。这个整体可以记为 $(V,F,+,\cdot)$ 。

为了简便，常说“ $V$ 是数域 $F$ 上的线性空间”。但完整的定义还包括所选的数域和两种运算：判断是不是线性空间，需要连同这些信息一起检查。

例一 · 实数组 $\mathbb R^n$

先把四个组成部分说清楚，再逐项检验十条性质。

集合：取 $V=\mathbb R^n$ ，也就是全部由 $n$ 个实数按顺序排成的数组，其中 $n$ 是正整数。数组里的每个数叫一个分量。比如 $\mathbb R^2$ 中的元素写成 $(a,b)$ ；也可以把数组竖着写成第一章中的列向量。

数域：取实数域 $F=\mathbb R$ ，因此数乘的系数可以是任意实数。

加法：对应位置的分量相加。若 $u=(u_1,\ldots,u_n)$ 、 $v=(v_1,\ldots,v_n)$ ，规定：

u+v=(u_1+v_1,\ldots,u_n+v_n)

数乘：用这个实数分别乘数组中的每个分量，规定：

\lambda v=(\lambda v_1,\ldots,\lambda v_n)

① 加法封闭：两个实数之和仍是实数，所以相加后仍是由同样多个实数组成的数组。② 数乘封闭：两个实数的乘积仍是实数，所以数乘后也仍属于这个集合。

③ 加法交换律、④ 加法结合律：每个位置都在做实数加法，而实数加法满足这两条规律。因此每个分量相等，整个数组也就相等。例如第 $i$ 个分量满足：

\begin{aligned} u_i+v_i&=v_i+u_i\\[.4em] (u_i+v_i)+w_i&=u_i+(v_i+w_i) \end{aligned}

⑤ 零向量：全由 0 组成的数组在集合中，每个分量加 0 都不变。⑥ 负向量：把每个分量取相反数，所得数组仍在集合中；对应分量相加都等于 0。

\begin{gathered} 0_V=(0,\ldots,0),\qquad v+0_V=v\\[.4em] -v=(-v_1,\ldots,-v_n),\qquad v+(-v)=0_V \end{gathered}

⑦ 数乘的单位律、⑧ 数乘的结合律：每个分量上的计算分别是 $1v_i=v_i$ 和 $\lambda(\mu v_i)=(\lambda\mu)v_i$ ，由实数乘法的规律成立，所以这两条性质对整个数组成立。

⑨、⑩ 两条分配律：将两边的同一分量展开，分别就是实数运算的两条分配律：

\begin{aligned} \lambda(u_i+v_i)&=\lambda u_i+\lambda v_i\\[.4em] (\lambda+\mu)v_i&=\lambda v_i+\mu v_i \end{aligned}

因此，这个集合、实数域、逐个分量相加与逐个分量数乘组成的整体，满足十条性质，是实线性空间。 $\mathbb R^2$ 就是取 $n=2$ 的情形。

例二 · 同样大小的实矩阵

集合：取全部 $m\times n$ 实矩阵组成的集合，记作 $V=M_{m\times n}(\mathbb R)$ 。这里 $m,n$ 是固定的正整数，分别规定矩阵的行数与列数；每个矩阵本身就是集合中的一个元素，也就是这里的一个向量。

数域：取实数域 $F=\mathbb R$ 。

加法：采用第一章的矩阵加法，把相同位置的元素相加。用 $a_{ij}$ 、 $b_{ij}$ 分别表示 $A$ 、 $B$ 的第 $i$ 行、第 $j$ 列元素，则 $A+B$ 在这个位置的元素是 $a_{ij}+b_{ij}$ 。

数乘：采用第一章的矩阵数乘，用标量 $\lambda$ 乘矩阵的每个元素。因此 $\lambda A$ 在第 $i$ 行、第 $j$ 列的元素是 $\lambda a_{ij}$ 。

\begin{gathered} \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}e&f\\g&h\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}a+e&b+f\\c+g&d+h\end{bmatrix}\\[.8em] \lambda\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\lambda a&\lambda b\\\lambda c&\lambda d\end{bmatrix} \end{gathered}

① 加法封闭：实数相加仍是实数，结果仍有 $m$ 行、 $n$ 列。② 数乘封闭：实数相乘仍是实数，数乘也不改变行数和列数。因此两种运算的结果都仍在 $V$ 中。

③ 加法交换律、④ 加法结合律：在每个位置，都分别归结为实数加法的交换律和结合律。矩阵相等的意思是每个对应位置都相等，所以得到 $A+B=B+A$ 、 $(A+B)+C=A+(B+C)$ 。

⑤ 零向量：取 $m\times n$ 零矩阵 $O$ ，它属于 $V$ ，且每个位置加 0 都不变。⑥ 负向量：将 $A$ 的每个元素取相反数，得到同样大小的矩阵 $-A$ ，对应元素相加都等于 0。

A+O=A,\qquad A+(-A)=O

⑦ 数乘的单位律、⑧ 数乘的结合律：每个位置分别满足 $1a_{ij}=a_{ij}$ 、 $\lambda(\mu a_{ij})=(\lambda\mu)a_{ij}$ ，所以 $1A=A$ 、 $\lambda(\mu A)=(\lambda\mu)A$ 。

⑨、⑩ 两条分配律：每个位置上的等式都来自实数的分配律，例如：

\begin{aligned} \lambda(a_{ij}+b_{ij})&=\lambda a_{ij}+\lambda b_{ij}\\[.4em] (\lambda+\mu)a_{ij}&=\lambda a_{ij}+\mu a_{ij} \end{aligned}

因此，矩阵整体满足 $\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$ 、 $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A$ 。这个集合、实数域和规定的矩阵加法、数乘满足十条性质，构成实线性空间。

从上述性质可推出：零向量、每个向量的负向量都是唯一的，且 $0v=0_V$ 、 $c0_V=0_V$ 、 $(-1)v=-v$ 。若 $cv=0_V$ ，则 $c=0$ 或 $v=0_V$ 。这里 $c$ 是标量；标量 0 与零向量 $0_V$ 要区分，后者可能是一列零，也可能是零矩阵。

如果 $W$ 里的每个元素都属于 $V$ ，就说 $W$ 是 $V$ 的子集，记作 $W\subseteq V$ 。一个非空子集 $W$ ，若使用 $V$ 原有的加法、数乘，并对这两种运算封闭，就称为 $V$ 的线性子空间。它本身也是线性空间：八条线性性质可以从 $V$ 沿用。检验时可先检查零向量是否在 $W$ 中，再检查封闭性。

例三 · 过原点的直线

集合：取平面内满足 $y=2x$ 的全部数组，也就是 $W=\{(a,2a):a\in\mathbb R\}$ 。其中包含 $(0,0)$ ，所以集合非空。

数域：取实数域 $F=\mathbb R$ 。

加法：沿用 $\mathbb R^2$ 中逐个分量相加的规定。对集合中的 $(a,2a)$ 、 $(b,2b)$ ，有：

(a,2a)+(b,2b)=(a+b,2(a+b))

数乘：用任意实数分别乘两个分量，规定：

\lambda(a,2a)=(\lambda a,2\lambda a)

① 加法封闭：和仍具有“第二个分量是第一个分量的两倍”的形式，所以仍在 $W$ 中。② 数乘封闭：积也保持这个形式，所以也仍在 $W$ 中。

③ 加法交换律、④ 加法结合律：加法的计算方式与例一相同，因此交换或改变加法的结合顺序，每个分量的结果都相同。封闭性保证计算中得到的数组也都在 $W$ 中。

⑤ 零向量： $(0,0)\in W$ ，且它与任意 $(a,2a)$ 相加都不改变原数组。⑥ 负向量： $(a,2a)$ 的负向量是 $(-a,-2a)$ ，它也属于 $W$ ，两者相加得到 $(0,0)$ 。

\begin{gathered} (a,2a)+(0,0)=(a,2a)\\[.4em] (a,2a)+(-a,-2a)=(0,0) \end{gathered}

⑦ 数乘的单位律、⑧ 数乘的结合律：每个分量都按实数乘法计算，乘 1 不变，连续数乘等于先把标量相乘。⑨、⑩ 两条分配律也逐个分量归结为实数的分配律，与例一的验证完全相同。

因此，集合 $W$ 、实数域、上述加法与数乘满足全部十条性质，构成实线性空间；由于运算沿用 $\mathbb R^2$ 的规定，它也是 $\mathbb R^2$ 的线性子空间。

反例 · 不过原点的直线

集合：取满足 $y=2x+1$ 的全部数组，记作 $S=\{(a,2a+1):a\in\mathbb R\}$ 。例如 $(0,1)$ 属于这个非空集合。

数域：取实数域 $F=\mathbb R$ 。

加法：尝试沿用 $\mathbb R^2$ 的逐个分量相加，即 $(x,y)+(z,t)=(x+z,y+t)$ 。

数乘：尝试沿用 $\mathbb R^2$ 的逐个分量数乘，即 $\lambda(x,y)=(\lambda x,\lambda y)$ 。

① 加法封闭性不成立。把集合中的同一个元素与自身相加：

(0,1)+(0,1)=(0,2)\notin S

因为 $x=0$ 时，满足 $y=2x+1$ 必须有 $y=1$ ，所以 $(0,2)$ 不在这条直线上。

② 数乘封闭性也不成立。例如用实数 0 数乘这个元素：

0(0,1)=(0,0)\notin S

此外，⑤ 所需的零向量 $(0,0)$ 也不在集合中。在逐个分量相加的规定下，只有 $(0,0)$ 能使任意数组与它相加都不变，不能另选一个点来代替。

十条性质必须全部满足。这个集合使用上述数域和运算时，已经有多条性质不成立，因此不构成线性空间。