9.6 线性变换和矩阵的最小多项式（尚未完成）

对于非零有限维空间上的 $T$ ，在所有非零零化多项式中，次数最低且首项系数为 1 的多项式，称为最小多项式，记为 $m_T(t)$ 。首项系数为 1 也称首一，这个约定保证 $m_T$ 唯一。

\begin{gathered}m_T(T)=0\\p(T)=0\iff m_T(t)\mid p(t)\\m_T(t)\mid\chi_T(t)\\1\le\deg m_T\le\dim V\end{gathered}

整除关系可由带余除法得到：用 $m_T$ 去除任意零化多项式，余式代入 $T$ 后也为零；最小次数迫使余式为零。最小多项式与特征多项式具有相同的根，但根的重数可能不同。相似矩阵的最小多项式相同，扩充系数域也不改变矩阵的最小多项式。

直接计算最小多项式时，可依次把 $I$ 、 $A$ 、 $A^{2}$ 、 $\ldots$ 视作矩阵空间中的向量，找到第一次线性相关关系，并把最高次项系数化为1。该关系就是最小多项式；若已有特征多项式，则可利用整除关系缩小候选范围。

分块对角矩阵的最小多项式，是各块最小多项式的首一最小公倍式。 $k$ 阶 Jordan 块 $J_{k}(\lambda )$ 的主对角元全为 $\lambda$ ，紧邻其上的一条对角线全为 1，其余元素为 0；它的最小多项式为 $(t - \lambda )^{k}$ 。幂零指数为 $k$ 的变换，其最小多项式为 $t^{k}$ 。

\begin{gathered}T=T_1\oplus\cdots\oplus T_s\\\implies m_T=\operatorname{lcm}(m_{T_1},\ldots,m_{T_s})\\[.5em]m_{J_k(\lambda)}(t)=(t-\lambda)^k\end{gathered}

最小多项式把可对角化条件压缩为一个判据：它在 $F$ 上分解成互不相同的一次因式的乘积。当条件成立时，各个根对应的核给出特征空间的直和。

\begin{gathered}T \text{在} F \text{上可对角化} \\ \iff m_T(t) = (t - \lambda _{1})\cdots (t - \lambda _{s}) \\ \text{且} \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{s} \in F \text{两两不同}\end{gathered}

由此可见，幂等变换总可对角化；非零幂零变换不可对角化。在域的特征不等于 2 时，满足 $T^{2} = I$ 的对合变换可对角化；在复数域上，满足 $T^{k} = I$ 的周期变换也可对角化。可对角化变换在任何不变子空间上的限制仍可对角化，并且每个不变子空间都能选到不变补空间。

进一步，若 $m_T = \prod_j (t - \lambda _{j})^{\ell _{j}}$ ，且 $\lambda _{j}$ 两两不同，则互素分解给出 $V = \bigoplus_j \ker\bigl((T - \lambda _{j}I)^{\ell _{j}}\bigr)$ 。这些核称为根子空间，也叫广义特征子空间；在每一部分减去 $\lambda _{j}I$ ，便得到下一节要研究的幂零变换。