6.3 矩阵的对角化

若 $B = P^{-1}AP$ ，其中 $P$ 可逆，就称 $A$ 与 $B$ 相似。相似保持秩、行列式与特征多项式，但这些量分别相同并不足以反过来保证相似。对角矩阵只在主对角线上可能有非零元素，它对各坐标分别做数乘。如果存在实可逆矩阵 $P$ 和实对角矩阵 $D$ ，使 $P^{-1}AP = D$ ，就说实方阵 $A$ 可以在实数范围内对角化。这个过程也称为相似对角化。

\begin{gathered}P^{-1}AP = D \\ \text{等价地：} A = PDP^{-1}\\[.5em] D = \operatorname{diag}(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\end{gathered}

有些矩阵可以对角化，有些不行。关键是能否找到 $n$ 个线性无关的实特征向量。将它们按列组成 $P$ ，并按相同顺序把特征值放到 $D$ 的对角线上，就得到 $AP = PD$ ，从而 $P^{-1}AP = D$ 。

\begin{gathered}P=\begin{bmatrix}v_1&\cdots&v_n\end{bmatrix},\quad Av_i=\lambda_i v_i\\AP=\begin{bmatrix}\lambda_1v_1&\cdots&\lambda_nv_n\end{bmatrix}=PD\\[.5em]A\text{ 在 }\mathbb R\text{ 上可对角化}\\\iff A\text{ 有 }n\text{ 个线性无关的实特征向量}\end{gathered}

从坐标角度看， $P$ 的列是一组特征向量基。若 $x = Pc$ ，则 $c = P^{-1}x$ 是 $x$ 在这组基下的坐标；变换后的坐标为 $P^{-1}Ax = Dc$ 。于是，在这组基下，原来的变换变成沿各个特征方向分别伸缩。对角化并不是直接把 $A$ 的非对角元素删成 0，也不是只做行变换。

一个简单的充分条件是： $n$ 阶实矩阵有 $n$ 个互不相同的实特征值。不同特征值对应的特征向量一定线性无关，所以各取一个就能组成一组基。这个条件足以保证对角化，但并不是必要条件。

这里还需要区分两种重数：若 $\lambda_0$ 是 $p_A(\lambda)$ 的 $k$ 重根，就称 $k$ 为这个特征值的代数重数；特征子空间 $E_{\lambda_0}$ 的维数称为它的几何重数，也就是最多能选出的线性无关特征向量的个数。

例三 · 特征向量不够，不能对角化

\begin{gathered}J = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 0 & 2\end{bmatrix}\\[.5em] p_J(\lambda ) = (\lambda - 2)^{2}\\[.5em] 2I-J = \begin{bmatrix}0 & -1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\\[.5em] (2I-J)v = 0 \implies y = 0 \\ E_{2} = \operatorname{span}\{(1, 0)^{\mathsf T}\} \text{，} \dim E_{2} = 1\end{gathered}

特征值 2 的代数重数是 2，几何重数却只有 1。所有特征向量都在同一条直线上，无法组成 $\mathbb{R}^{2}$ 的基，因此 $J$ 不能对角化；不能用同一个向量的不同倍数凑出两列。 $J$ 的行列式是 4，仍然可逆，可见可逆并不保证可对角化。

更一般地，若特征多项式在实数范围内能分解成 $n$ 个一次因子的乘积（允许重复），并且每个特征值的几何重数都等于它的代数重数，就可以对角化；这也是实数范围内可对角化的充要条件。实际计算时，逐个求特征空间的基，再检查一共能否得到 $n$ 个线性无关的特征向量。

对角化也简化了矩阵的幂：若 $A = PDP^{-1}$ ，则 $A^{k} = PD^{k}P^{-1}$ ，对角元分别取 $k$ 次幂即可。研究相似关系的目的，正是寻找使同一变换的运算更简单的表示。

A^{k} = P \operatorname{diag}(\lambda _{1}^{k},\ldots ,\lambda _{n}^{k})P^{-1} \text{（} k \ge 0 \text{）}

另一个容易检查的充分条件是 $A$ 为实对称矩阵，即 $A^{\mathsf T} = A$ 。它不仅可以对角化，还能选择一组长度为 1、彼此垂直的特征向量作为基，下一节给出例子。实矩阵若没有足够的实特征值，例如上一节的 $90^{\circ}$ 旋转矩阵，则不能在实数范围内对角化。