3.2 矩阵乘法与线性变换 I

我们用一种新的方式理解矩阵乘法。设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，各列依次为 $a_1,\ldots,a_n$ ； $x$ 是 $n\times1$ 列向量。矩阵乘列向量 $Ax$ ，就是把 $x$ 的各分量作为系数，对 $A$ 的各列向量进行线性组合。

\begin{gathered}A=[\,a_1\ \cdots\ a_n\,],\qquad x=\begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}\\[.5em]Ax=x_1a_1+\cdots+x_na_n\end{gathered}

一般地，若 $B$ 是 $n\times p$ 矩阵，各列依次为 $b_1,\ldots,b_p$ ，则 $AB=[\,Ab_1\ \cdots\ Ab_p\,]$ 。右侧矩阵的每一列，都给出一次对 $A$ 各列向量的线性组合。

上面的计算固定了矩阵 $A$ ，给定一个输入 $x$ ，就得到一个输出 $Ax$ 。如果让 $x$ 取遍 $\mathbb R^n$ 中的所有向量，整条规则就给出了映射 $T_A:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ ，即 $T_A(x)=Ax$ 。相当于是矩阵乘法作用到了整个线性空间上。矩阵乘法保持加法与数乘，因此这个映射是线性的：

\begin{gathered} \text{对任意 }u,v\in\mathbb R^n,\quad\lambda\in\mathbb R\text{：}\\[.5em] T_A(u+v)=A(u+v)=Au+Av\\[.4em] T_A(\lambda v)=A(\lambda v)=\lambda Av \end{gathered}

下一节从标准基向量出发，说明这些列分别记录了什么，以及它们怎样决定整个空间的几何变化。