3.3 矩阵乘法与线性变换 II

上一节把 $Ax$ 写成了 $x_1a_1+\cdots+x_na_n$ ，并把这条规则看作线性映射 $T_A$ 。现在考察 $T_A:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ 对整个线性空间的作用。先让输入为第 $i$ 个标准基向量 $e_i$ ：它的第 $i$ 个分量为 1，其余分量为 0，因此它的像就是矩阵的第 $i$ 列：

T_A(e_i)=Ae_i=0a_1+\cdots+1a_i+\cdots+0a_n=a_i

由于在线性空间 $\mathbb R^n$ 中，任意向量都是标准基向量的线性组合，而线性变换保持组合系数，因而线性映射在基向量上的作用决定了它在整个空间上的作用。具体地，对任意 $v\in\mathbb R^n$ ：

\begin{gathered} v=x_1e_1+\cdots+x_ne_n,\qquad x_1,\ldots,x_n\in\mathbb R\\[.5em] \begin{aligned} T_A(v)&=T_A(x_1e_1+\cdots+x_ne_n)\\[.3em] &=x_1T_A(e_1)+\cdots+x_nT_A(e_n)\\[.3em] &=x_1a_1+\cdots+x_na_n=Av. \end{aligned} \end{gathered}

二维例子：先追踪两个基向量

平面的标准基是 $e_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ 、 $e_2=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$ 。任意向量都能写成 $v=xe_1+ye_2$ 。视频用绿色箭头表示第一个基方向，红色箭头表示第二个，黄色箭头追踪一般向量。例如：

v=\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=-e_1+2e_2

取下面的矩阵 $A$ ，并令 $T(v)=Av$ 。由矩阵的两列可读出两个标准基向量的像：

\begin{gathered} A=\begin{bmatrix}1&3\\-2&0\end{bmatrix},\\[.5em] T(e_1)=Ae_1=\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix},\qquad T(e_2)=Ae_2=\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}. \end{gathered}

因此，对任意向量 $v=xe_1+ye_2$ ，线性性给出：

\begin{aligned} T(v)&=T(xe_1+ye_2)=xT(e_1)+yT(e_2)\\[.5em] &=x\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}\\[.5em] &=\begin{bmatrix}x+3y\\-2x\end{bmatrix} =A\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}. \end{aligned}

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3Blue1Brown ·《线性代数的本质》第3集 03:57–04:41 · 英语原声／原版中文字幕

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3Blue1Brown ·《线性代数的本质》第3集 05:25–06:04 · 英语原声／原版中文字幕

特别地，对前面的向量 $v=-e_1+2e_2$ ，代入 $x=-1$ 、 $y=2$ ，就得到：

\begin{aligned} T(v)=Av&=-\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}\\[.6em] &=\begin{bmatrix}5\\2\end{bmatrix} \end{aligned}

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原来的系数

-1

、

2

保持不变，变换后的黄色向量因此落在

(5,2)

。3Blue1Brown ·《线性代数的本质》第3集 04:44–05:12 · 英语原声／原版中文字幕

所以，给出每个基向量的像，就唯一确定了整个空间上每个向量的像。对 $\mathbb R^n$ 到 $\mathbb R^m$ 的线性映射，同样把 $n$ 个标准基向量的像按列排成矩阵，每一列有 $m$ 个分量：

\begin{gathered} T(e_i)=Ae_i=a_i\\[.4em] x=x_1e_1+\cdots+x_ne_n\\[.4em] T(x)=x_1T(e_1)+\cdots+x_nT(e_n)=Ax \end{gathered}

这里的坐标系保持固定，改变的是向量本身与网格的位置。第二章的换基则是改用另一组基，描述同一个向量。

基向量的像也可能线性相关

基向量原本线性无关，它们的像却可能落在同一直线上。例如下面的矩阵，两列互为相反数：

\begin{gathered} C=\begin{bmatrix}2&-2\\1&-1\end{bmatrix}\\[.5em] C\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=(x-y)\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix} \end{gathered}

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两个基方向的像落在同一直线上，整个平面因此被压到这一条直线上。3Blue1Brown ·《线性代数的本质》第3集 09:21–09:43 · 英语原声／原版中文字幕

所有输出都能写成 $\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$ 的数乘，因此 $\operatorname{Im}(T_C)=\operatorname{span}\{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\}$ 。这些像仍能张成像空间，但已经不是平面的一组基。

两个矩阵相乘，就是先后执行两个变换

设 $B$ 是 $n\times p$ 矩阵、 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵。先用 $B$ 把输入送到 $\mathbb R^n$ ，再用 $A$ 把它送到 $\mathbb R^m$ ，合起来就是左乘 $AB$ ：

\begin{gathered} \mathbb R^p\xrightarrow{B}\mathbb R^n\xrightarrow{A}\mathbb R^m\\[.5em] (AB)x=A(Bx),\qquad T_{AB}=T_A\circ T_B \end{gathered}

符号 $T_A\circ T_B$ 表示先执行 $T_B$ ，再执行 $T_A$ 。乘积 $AB$ 的作用次序从右向左读；第 $j$ 列是 $A(Be_j)$ ，也就是把 $B$ 的第 $j$ 列再经 $A$ 变换一次。

视频先做逆时针旋转 $90^\circ$ ，再做水平剪切。它们的矩阵分别记作 $R$ 、 $S$ ，合起来应写成 $SR$ ：

\begin{gathered} R=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix},\qquad S=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\\[.6em] SR=\begin{bmatrix}1&-1\\1&0\end{bmatrix} \end{gathered}

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先旋转、后剪切：乘积右边的旋转矩阵先作用。合成矩阵的两列仍是两个基向量最终的落点。3Blue1Brown ·《线性代数的本质》第4集 03:42–04:19 · 英语原声／原版中文字幕

例如， $e_1$ 先变成 $\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$ ，再变成 $\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$ ，得到 $SR$ 的第一列； $e_2$ 先变成 $\begin{bmatrix}-1\\0\end{bmatrix}$ ，剪切后不变，得到第二列。

复合的几何意义也解释了结合律： $(AB)C$ 与 $A(BC)$ 都是先 $C$ 、再 $B$ 、最后 $A$ ，所以两者相等。改变括号不改变执行顺序，交换两个变换的先后顺序则可能改变结果；下一节会直接比较。