6.2 矩阵特征值、特征向量的计算方法

本节考虑如何计算矩阵的特征值和特征向量。根据定义，它们满足 $Av=\lambda v$ ，其中 $v\ne0$ 。移项可写成齐次方程 $(\lambda I-A)v=0$ 。因此，求 $A$ 的特征值，就是求所有能让这个齐次方程存在非零解的实数 $\lambda$ 。根据上一章的行列式判据，这等价于 $\det(\lambda I-A)=0$ 。

\begin{gathered}Av=\lambda v\iff(\lambda I-A)v=0,\qquad v\ne0,\\[.5em]\lambda\text{ 是 }A\text{ 的实特征值}\\\iff(\lambda I-A)v=0\text{ 存在非零解}\\\iff\det(\lambda I-A)=0.\end{gathered}

把 $p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)$ 称为矩阵 $A$ 的特征多项式。对于 $n$ 阶矩阵，它是首项为 $\lambda^n$ 的 $n$ 次多项式。

求出所有不同的实特征值 $\lambda_1,\ldots,\lambda_r$ 后，将它们逐个代回 $(\lambda I-A)v=0$ ，求出各自对应的全部非零解。一个特征值可以对应多个方向的特征向量，所以不能只找出一个向量就结束。计算过程为：

\begin{gathered}\text{① 计算 }p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A),\\[.4em]\text{② 解 }p_A(\lambda)=0\text{，求所有不同的实特征值},\\[.4em]\text{③ 对每个特征值，解 }(\lambda I-A)v=0,\\\text{写出全部非零解。}\end{gathered}

例 · 三阶矩阵：求特征值与全部特征向量

A=\begin{bmatrix}3&1&-1\\1&3&-1\\1&1&1\end{bmatrix}

第一步，写出 $\lambda I-A$ 并计算特征多项式。这里 $I$ 是三阶单位矩阵：

\lambda I-A=\begin{bmatrix}\lambda-3&-1&1\\-1&\lambda-3&1\\-1&-1&\lambda-1\end{bmatrix}

在行列式中做 $R_2\leftarrow R_2-R_1$ 、 $R_3\leftarrow R_3-R_1$ ，再从后两行分别提取公因子 $\lambda-2$ ：

\begin{aligned}p_A(\lambda)&=\begin{vmatrix}\lambda-3&-1&1\\-(\lambda-2)&\lambda-2&0\\-(\lambda-2)&0&\lambda-2\end{vmatrix}\\[.5em]&=(\lambda-2)^2\begin{vmatrix}\lambda-3&-1&1\\-1&1&0\\-1&0&1\end{vmatrix}.\end{aligned}

对最后的行列式做 $C_1\leftarrow C_1+C_2+C_3$ ，第一列便只剩一个非零元素：

\begin{aligned}p_A(\lambda)&=(\lambda-2)^2\begin{vmatrix}\lambda-3&-1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}\\&=(\lambda-2)^2(\lambda-3).\end{aligned}

p_A(\lambda)=0\iff\lambda=2\ \text{或}\ \lambda=3

第二步，将每个不同的特征值代回齐次方程。先取 $\lambda=2$ ：

2I-A=\begin{bmatrix}-1&-1&1\\-1&-1&1\\-1&-1&1\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{初等行变换}}\begin{bmatrix}1&1&-1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}

令 $v=(x,y,z)^{\mathsf T}$ ，得到 $x+y-z=0$ 。取自由变量 $x=s$ 、 $y=t$ ，则 $z=s+t$ ：

\begin{gathered}v=\begin{bmatrix}s\\t\\s+t\end{bmatrix}=s\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix},\\[.5em]E_2=\operatorname{span}\left\{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}\right\}.\end{gathered}

对应于 $2$ 的全部特征向量就是上式中 $s,t$ 不同时为零时得到的向量。这个特征值对应一整个平面中的非零向量，包含不止一条特征方向。

再取 $\lambda=3$ ：

3I-A=\begin{bmatrix}0&-1&1\\-1&0&1\\-1&-1&2\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{初等行变换}}\begin{bmatrix}1&0&-1\\0&1&-1\\0&0&0\end{bmatrix}

得到 $x=z$ 、 $y=z$ 。令 $z=r$ ，全部非零解为：

\begin{gathered}v=r\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix},\qquad r\ne0,\\[.5em]E_3=\operatorname{span}\left\{\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}\right\}.\end{gathered}

最后验证所选的三个向量：

\begin{gathered}A\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\0\\2\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix},\\[.4em]A\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\2\\2\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix},\\[.4em]A\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\3\\3\end{bmatrix}=3\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}.\end{gathered}

特征多项式虽然有平方因子，求特征向量时仍只需把两个不同的根分别代入。每个特征值对应多少条独立方向，要由相应齐次方程的全部解来确定。

在实数范围内，并不是所有方阵都有特征值。例如下面的平面旋转：