5.6 复合变换与行列式的性质

现在回到第三章的矩阵乘法。矩阵乘法可以被视作由矩阵诱导的线性映射的复合。 $AB$ 表示先做 $B$ ，再做 $A$ 。第一步把有向面积或体积乘上 $\det B$ ，第二步再乘上 $\det A$ ，总倍数就是二者的乘积。

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先做

B

，面积从

1

变为

2

；再做

A

，已有的两块面积各乘

3

，总面积变为

6

。后一步作用于前一步得到的整块区域，所以总倍数是

2\times3

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\begin{gathered}\text{有向体积：}\quad1\ \xrightarrow{\ B\ }\ \det B\\\xrightarrow{\ A\ }\ (\det A)(\det B).\end{gathered}

复合变换的面积、体积倍数相乘

\boxed{\det(AB)=\det A\,\det B}\qquad(A,B\text{ 为同阶方阵})

如果其中一个变换把空间压到低维，后一个线性变换无法重新创造丢失的独立方向，复合后的行列式仍为零。因而这个乘法公式也包含不可逆的情形。

单位矩阵不改变空间，所以行列式为 $1$ 。可逆变换与它的逆变换复合后得到单位矩阵，因此逆变换的行列式是原来的倒数。

\begin{gathered}\det I_n=1,\\\det(A^{-1})=\frac1{\det A}\quad(A\text{ 可逆}),\\\det(AB)=\det(BA),\\\det(A^k)=(\det A)^k\quad(k\text{ 为正整数}).\end{gathered}

初等变换的行列式规律也有相同的几何来源。把一列加上另一列的倍数，表示把平行多面体的一条边沿另一条边滑动，体积与定向不变；一列乘 $c$ ，有向体积也乘 $c$ ；交换两列，体积大小不变而定向翻转。行列式对行、列具有对称性：转置不改变行列式，因此三条规律对行变换也成立。

\begin{gathered}\det(A^{\mathsf T})=\det A,\\[.4em]R_i\leftrightarrow R_j:\quad\det\text{ 变号},\\R_i\leftarrow cR_i:\quad\det\text{ 乘 }c,\\R_i\leftarrow R_i+cR_j\ (i\ne j):\quad\det\text{ 不变}.\end{gathered}

从初等矩阵看行列式的变化

第一章已说明：对单位矩阵做一次初等行变换得到 $E$ ，左乘 $EA$ 就是在 $A$ 上做同一次行变换。现在用行列式的乘法公式，便能统一解释上面三条规律：

\det(EA)=(\det E)(\det A).

交换第 $i,j$ 行的初等矩阵记为 $P_{ij}$ ；第 $i$ 行乘非零数 $c$ 的初等矩阵记为 $D_i(c)$ ；把第 $j$ 行的 $c$ 倍加到第 $i$ 行的初等矩阵记为 $L_{ij}(c)$ 。它们分别对应交换坐标方向、沿一个坐标方向伸缩、剪切，因此：

\begin{gathered}\det P_{ij}=-1\quad(i\ne j),\\\det D_i(c)=c\quad(c\ne0),\\\det L_{ij}(c)=1\quad(i\ne j).\end{gathered}

所以左乘这三类初等矩阵，依次使原行列式变号、乘 $c$ 、保持不变。列变换则由右乘相应的初等矩阵 $F$ 实现， $\det(AF)=(\det A)(\det F)$ ，得到完全对应的三条规则。初等变换中的倍乘要求 $c\ne0$ ；若单独把一行乘 $0$ ，行列式也会变成 $0$ ，但这时操作不再可逆。

例如二阶初等矩阵 $E$ 把第一行的 $c$ 倍加到第二行，它本身是一个剪切，行列式为 $1$ ：

\begin{gathered}A=\begin{bmatrix}a&b\\d&e\end{bmatrix},\qquad E=\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix},\\[.4em]EA=\begin{bmatrix}a&b\\ca+d&cb+e\end{bmatrix},\\[.4em]\det(EA)=ae-bd=\det A.\end{gathered}

这里“某一行乘 $c$ ”使行列式只多出一个因子 $c$ ；如果整个 $n$ 阶矩阵乘 $c$ ，则每一列都乘 $c$ ，共有 $n$ 个因子。相应地，二阶矩阵整体乘 $2$ 会使面积变为四倍，三阶矩阵整体乘 $2$ 会使体积变为八倍。

\det(cA)=c^n\det A\qquad(A\in\mathbb R^{n\times n})

行列式对每一行或每一列分别是线性的，前提是其余行或列保持不动。它并不对整个矩阵的加法保持线性，不能把 $\det(A+B)$ 直接拆成 $\det A+\det B$ 。

\det(I_2+I_2)=\det(2I_2)=4\ne1+1

对上三角或下三角矩阵，沿适当的行、列依次展开，得到主对角线元素的乘积。于是可以先做消元，再计算对角线乘积，同时记下换行次数和行倍乘因子。

\det U=u_{11}u_{22}\cdots u_{nn}\qquad(U\text{ 为三角矩阵})

行列式把本章的几何与计算连在一起：绝对值告诉我们面积或体积缩放多少，正负告诉我们定向是否翻转，零值告诉我们是否丢失了独立方向。特别地，方阵的行列式为零，当且仅当对应的齐次方程有非零解；这个结论会在之后研究特征值时继续使用。