1.6 行阶梯形矩阵及主元

为了将用初等行变换解方程的过程更加格式化，我们引入一些新的概念。所有元素都为 0 的一行称为零行；其余行称为非零行。非零行中最左侧的非零元素叫该行的主元。主元所在的位置叫主元位置，所在的列叫主元列。

框出的数是主元

\begin{bmatrix}\boxed{2}&1&0\\0&0&\boxed{3}\\0&0&0\end{bmatrix}

这个矩阵的前两行是非零行，最后一行是零行。第一行的主元是第 1 列的 2，第二行的主元是第 3 列的 3。主元不一定等于 1。

所谓行阶梯形矩阵，就是矩阵呈现阶梯形的样子，具体来说就是满足：所有零行都在非零行下方；越靠下的非零行，其主元越靠右；每个主元下方的元素全为 0。上面的矩阵就是行阶梯形：两个主元依次向右移动，主元下方都是 0。

在实际解方程时，我们先把方程组写成增广矩阵，再施加若干次初等行变换，得到行阶梯形增广矩阵。系数部分的主元列对应的未知数称为主元变量，其余未知数称为自由变量。在方程组有解时，自由变量可以任意取值，再由方程确定主元变量的具体值。最右侧的常数列不对应未知数。

下面从一个三元方程组出发。左边写方程的消元，右边写对应的增广矩阵行变换，每一步相互对应。

\begin{array}{c|c}\text{方程的消元}&\text{增广矩阵的行变换}\\[.7em]\begin{cases}\text{①}\quad x+2y-z=3\\\text{②}\quad 2x+4y=10\\\text{③}\quad 3x+6y+z=17\end{cases}&\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&3\\2&4&0&10\\3&6&1&17\end{array}\right]\\[.7em]\begin{gathered}\text{第二式减去第一式}\text{的 }2\text{ 倍}\\\text{第三式减去第一式}\text{的 }3\text{ 倍}\end{gathered}&\begin{gathered}R_2\leftarrow R_2-2R_1\\R_3\leftarrow R_3-3R_1\end{gathered}\\[.7em]\begin{cases}\text{①}\quad x+2y-z=3\\\text{②}\quad 2z=4\\\text{③}\quad 4z=8\end{cases}&\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&3\\0&0&2&4\\0&0&4&8\end{array}\right]\\[.7em]\text{第三式减去第二式}\text{的 }2\text{ 倍}&R_3\leftarrow R_3-2R_2\\[.7em]\begin{cases}\text{①}\quad x+2y-z=3\\\text{②}\quad 2z=4\\\text{③}\quad 0=0\end{cases}&\left[\begin{array}{ccc|c}\boxed{1}&2&-1&3\\0&0&\boxed{2}&4\\0&0&0&0\end{array}\right]\end{array}

原来的第三个方程可以由第二个方程的 2 倍减去第一个方程得到：左边得到 $3x+6y+z$ ，右边得到 $2\times10-3=17$ 。所以只要满足前两个方程，就一定满足第三个方程。第三个方程是多余的，没有增加新的限制；消元后它变成了 $0=0$ 。

最后的系数部分在第 1、3 列出现主元，分别是 1 和 2。因此 $x,z$ 是主元变量， $y$ 是自由变量。第二行给出 $z=2$ ，第一行给出 $x+2y-z=3$ ，于是 $x=5-2y$ 。令 $y=t$ ，全部解为：

\begin{cases}x=5-2t\\y=t\\z=2\end{cases},\qquad t\in\mathbb R

消元后，两个非零方程分别保留了一条限制，可把它们称为两个“有效方程”。它们分别确定一个主元变量与自由变量之间的关系；主元变量的具体值仍可能依赖自由变量。例如这里 $z$ 已经确定，但 $x$ 随 $y$ 的取值而改变。

因此，数原方程组有几条方程，还不能判断有多少个未知数能被确定。应先消元。在方程组有解的情况下，行阶梯形中保留下来的非零方程才是需要考虑的限制。如果变量数多于这些方程的个数，就会留下自由变量，从而有无穷多解。

再看一种特殊情况：增广矩阵化为行阶梯形后，若出现系数全部为 0、右侧常数却不为 0 的行，就得到 $0=c$ 、 $c\ne0$ 这样的矛盾方程，称这一行为矛盾行。出现矛盾行时，方程组无解。

\begin{array}{c|c}\text{方程的消元}&\text{增广矩阵的行变换}\\[.7em]\begin{cases}\text{①}\quad x+y=1\\\text{②}\quad 2x+2y=3\end{cases}&\left[\begin{array}{cc|c}1&1&1\\2&2&3\end{array}\right]\\[.7em]\text{第二式减去第一式}\text{的 }2\text{ 倍}&R_2\leftarrow R_2-2R_1\\[.7em]\begin{cases}\text{①}\quad x+y=1\\\text{②}\quad 0=1\end{cases}&\left[\begin{array}{cc|c}\boxed{1}&1&1\\0&0&1\end{array}\right]\end{array}

最后一行表示 $0=1$ ，这是不可能成立的，所以原方程组无解。要区分两种情况： $[0\ \cdots\ 0\mid0]$ 表示 $0=0$ ，不增加限制； $[0\ \cdots\ 0\mid c]$ 、 $c\ne0$ 才是矛盾行。

设方程组有 $n$ 个未知数，行阶梯形的系数部分共有 $p$ 个主元。没有矛盾行时，自由变量共有 $n-p$ 个。于是有如下结论：

\begin{aligned} \text{无解}&\iff\text{出现矛盾行 }[\,0\ \cdots\ 0\mid c\,]\text{，其中 }c\ne0\\[.4em] \text{有解}&\iff\text{没有矛盾行}\\[.4em] \text{唯一解}&\iff\text{没有矛盾行且 }p=n\\[.4em] \text{无穷多解}&\iff\text{没有矛盾行且 }p<n \end{aligned}

在行阶梯形矩阵的基础上，如果还满足下面两个条件，就称为简化行阶梯形矩阵：

（1）每个非零行的主元都等于 1。

（2）每个主元所在列中，除主元外的其余元素全部为 0，也就是主元上方和下方的元素都为 0。

因此，简化行阶梯形仍须满足前面行阶梯形的要求：零行位于最下方，越靠下的非零行，其主元越靠右。这里要求的是主元列的其他元素为 0；非主元列仍然可以有非零元素。

从行阶梯形出发，可以先把各主元所在行乘以主元的倒数，将主元化为 1，再从下往上消去各主元上方的非零元素。同一个矩阵经过不同的初等行变换，得到的行阶梯形可能不同，但得到的简化行阶梯形是唯一的。

回到前面的三元方程组。对它的行阶梯形增广矩阵，先将第 2 行乘 $1/2$ ，把主元 2 化为 1；再将新的第 2 行加到第 1 行，消去该主元上方的 $-1$ ：

\begin{gathered}R_2\leftarrow\tfrac12R_2,\qquad R_1\leftarrow R_1+R_2\\[.7em]\begin{array}{cc}\text{行阶梯形（未简化）}&\text{简化行阶梯形}\\[.5em]\left[\begin{array}{ccc|c}\boxed{1}&2&-1&3\\0&0&\boxed{2}&4\\0&0&0&0\end{array}\right]&\left[\begin{array}{ccc|c}\boxed{1}&2&0&5\\0&0&\boxed{1}&2\\0&0&0&0\end{array}\right]\end{array}\end{gathered}

左边已经是行阶梯形，但第二个主元是 2，并且它上方还有 $-1$ ，所以还不是简化行阶梯形。右边的主元都为 1，主元所在列的其他元素都是 0。非主元列仍然可以有非零元素，例如第 2 列的 2。

从右边可以直接读出 $x+2y=5$ 、 $z=2$ ，即 $x=5-2y$ 、 $z=2$ 。自由变量仍是 $y$ ，得到的解与前面回代求出的解完全相同。