3.4 矩阵乘法与线性变换的几何例子

读几何变换时，先找两个标准基向量的落点，把它们写成矩阵的两列，再检查一般向量和网格怎样变化。下面把视频画面与可核对坐标的几何示意图放在一起。

视频中的 $\hat\imath$ 、 $\hat\jmath$ 分别对应我们的 $e_1$ 、 $e_2$ 。绿色箭头追踪第一个基方向，红色箭头追踪第二个；映成零向量时，示意图用原点处的圆点表示。图中每个点都按同一个矩阵变换。

例二 · 绕原点逆时针旋转 $90^{\circ}$

\begin{gathered}R=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\\[.5em]R\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-y\\x\end{bmatrix}\end{gathered}

$e_{1}$ 变成 $(0, 1)$ ， $e_{2}$ 变成 $(-1, 0)$ 。每个向量都绕原点逆时针转 $90^{\circ}$ ，长度与夹角保持不变。一般的逆时针旋转 $\theta$ 对应下面的矩阵：

R_\theta=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}

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逆时针旋转

90^\circ

：绿色基向量落到

(0,1)

，红色基向量落到

(-1,0)

。3Blue1Brown ·《线性代数的本质》第3集 08:04–08:30 · 英语原声／原版中文字幕

绿色： $e_1$ 及其像红色： $e_2$ 及其像

变换前 · 单位正方形

R

· 逆时针旋转

90^{\circ}

例四 · 水平剪切

\begin{gathered}S=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\\[.5em]S\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x+y\\y\end{bmatrix}\end{gathered}

第一条基方向不动，第二条基方向变成 $(1, 1)$ 。高度 $y$ 越大，向右移动的距离越大。四个顶点依次变成 $(0, 0)$ 、 $(1, 0)$ 、 $(2, 1)$ 、 $(1, 1)$ ，单位正方形变成平行四边形。

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水平剪切：第一个基向量不动，第二个基向量落到

(1,1)

，整张网格随之倾斜。3Blue1Brown ·《线性代数的本质》第3集 08:31–08:54 · 英语原声／原版中文字幕

绿色： $e_1$ 及其像红色： $e_2$ 及其像

变换前 · 单位正方形

S

· 水平剪切

例六 · 交换旋转与剪切的顺序

沿用上一节的旋转矩阵 $R$ 与剪切矩阵 $S$ 。先旋转后剪切得到 $SR$ ，先剪切后旋转得到 $RS$ ：

\begin{gathered} SR=\begin{bmatrix}1&-1\\1&0\end{bmatrix},\qquad RS=\begin{bmatrix}0&-1\\1&1\end{bmatrix} \end{gathered}

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先旋转再剪切，最终的两个基方向分别是

(1,1)

与

(-1,0)

。3Blue1Brown ·《线性代数的本质》第4集 02:07–02:52 · 英语原声／原版中文字幕

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先剪切再旋转，最终的两个基方向分别是

(0,1)

与

(-1,1)

。3Blue1Brown ·《线性代数的本质》第4集 07:33–07:53 · 英语原声／原版中文字幕

只看第一个基向量就能分辨： $SR e_1=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$ ，而 $RS e_1=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$ 。它们的落点不同，因此 $SR\ne RS$ 。这说明矩阵乘法通常不满足交换律。

绿色： $e_1$ 及其像红色： $e_2$ 及其像

变换前 · 单位正方形

SR

· 先旋转，后剪切

RS

· 先剪切，后旋转

例七 · 三维空间只需追踪三个基方向

三维空间有三个标准基向量 $e_1=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$ 、 $e_2=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$ 、 $e_3=\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$ 。视频分别用绿、红、蓝三个箭头追踪它们。把三个像按列排好，就得到一个三阶矩阵。

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三维例子：三个彩色基向量的落点，分别记录在右上角矩阵的三列中。3Blue1Brown ·《线性代数的本质》第5集 01:52–02:16 · 英语原声／原版中文字幕

\begin{gathered} M=\begin{bmatrix}1&1&1\\0&1&0\\-1&0&1\end{bmatrix}\\[.6em] M\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} =x\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}+z\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}\\[.6em] =\begin{bmatrix}x+y+z\\y\\-x+z\end{bmatrix} \end{gathered}

原理与平面完全相同：线性变换保持组合系数，因此三个基方向的变化就确定了所有空间点的变化。三维矩阵的复合也仍从右向左执行。