设 V、W 是同一数域 F 上的线性空间。映射 T:V→W 为每个输入 v∈V 指定唯一的输出 T(v)∈W。若这个映射保持加法与数乘，就称它为线性映射；当 V=W 时，称为 V 上的线性变换。
两个空间的元素和运算方式可以不同。下面用 +V、⋅V 表示 V 中的加法、数乘，用 +W、⋅W 表示 W 中的加法、数乘。等式左边先在 V 中运算再映射，右边先映射再按 W 的规定运算，所得结果必须相同：
对任意 u,v∈V,λ,α,β∈F，均有：T(u+Vv)=T(u)+WT(v)T(λ⋅Vv)=λ⋅WT(v)等价地：T(α⋅Vu+Vβ⋅Vv)=α⋅WT(u)+Wβ⋅WT(v) 所属空间明确时，通常省略这些运算下标。由线性性可得 T(0V)=0W。与 T 相关的两个重要空间是线性映射的核与像：
kernel（核）：ker(T)={v∈V:T(v)=0W}Image（像）：Im(T)={T(v):v∈V}⊆W 核由所有被送到零向量的输入组成，属于定义域 V；像由实际能得到的所有输出组成，属于目标空间 W。线性性保证它们分别是 V、W 的线性子空间。像不一定等于整个 W，核也不一定只有零向量。
如果不同输入总有不同输出，称 T 为单射；如果 W 中每个向量都能作为某个输入的输出，称 T 为满射。对线性映射，T 是单射当且仅当 ker(T)={0V}；T 是满射当且仅当 Im(T)=W。
一类常见的线性映射由矩阵左乘给出：设 A 是 m×n 实矩阵，定义 TA(x)=Ax。下标 A 用来标明所用的矩阵。它的核是 Ax=0 的解集，像是 A 各列向量所有线性组合组成的集合。接下来从矩阵乘法出发，说明这些空间与几何变换的联系。