8.1 子空间及其交与和、子空间的直和

本章沿用第二章的线性空间概念，研究空间之间的组合与联系。 $F$ 表示同一个标量域，例如实数域 $\mathbb{R}$ 或复数域 $\mathbb{C}$ ；涉及加法、数乘及线性映射时，标量域保持一致。下面的具体计算例子均取 $F = \mathbb{R}$ 。

设 $U$ 、 $W$ 都是 $F$ 上线性空间 $V$ 的子空间，即它们使用 $V$ 原来的运算，并对加法、数乘封闭。交空间由同时属于两者的向量组成；和空间由两者中各取一个向量相加得到：

\begin{gathered}U \cap W = \{v \in V : v \in U \text{且} v \in W\}\\[.5em] U + W = \{u + w : u \in U \text{，} w \in W\}\end{gathered}

$U \cap W$ 与 $U + W$ 都是 $V$ 的子空间。交空间是同时包含在 $U$ 、 $W$ 中的最大子空间；和空间是同时包含 $U$ 、 $W$ 的最小子空间。和空间不等于集合的并：并集只收集原有的元素，不一定对加法封闭。

有限维情形下，交与和满足维数公式。把 $U$ 、 $W$ 各自的维数直接相加，会把交空间中的公共方向重复计算一次，因此要减去交空间的维数：

\begin{aligned}\dim(U+W)&=\dim U+\dim W\\&\quad-\dim(U\cap W)\end{aligned}

例二 · 两个平面的交与和

\begin{gathered}U = \{(a, b, 0) : a, b \in \mathbb{R}\} \\ W = \{(0, c, d) : c, d \in \mathbb{R}\}\\[.5em] U \cap W = \{(0, t, 0) : t \in \mathbb{R}\} \\ = \operatorname{span}\{(0, 1, 0)\} \\ U + W = \mathbb{R}^{3}\\[.5em] \dim (U + W) = 2 + 2 - 1 = 3\end{gathered}

相加能得到全部三维向量，但分解不唯一。例如：

\begin{gathered}(1, 2, 3) = (1, 2, 0) + (0, 0, 3) \\ = (1, 0, 0) + (0, 2, 3)\end{gathered}

两种分解中的第一项属于 $U$ ，第二项属于 $W$ ；公共的 $y$ 轴方向可以在两部分之间转移。

如果 $U + W$ 中的每个向量都能唯一写成 $u + w$ ，其中 $u \in U$ 、 $w \in W$ ，就称这个和为直和，记为 $U \oplus W$ 。对于两个子空间，唯一性恰好等价于交空间只有零向量：

\begin{gathered}U + W \text{是直和} \iff U \cap W = \{0\}\\[.5em] V = U \oplus W \\ \iff V = U + W \text{且} U \cap W = \{0\}\end{gathered}

原因是：若 $u_{1} + w_{1} = u_{2} + w_{2}$ ，则 $u_{1} - u_{2} = w_{2} - w_{1}$ 同时在 $U$ 、 $W$ 中。交空间只有零向量时，两部分必须分别相同。反之，若有非零公共向量 $h$ ，就可把它从一部分移到另一部分，破坏唯一性。

给定两个子空间的基，可以合并两组基并选出极大线性无关组，得到和空间的基。求交空间时，若基矩阵分别为 $B$ 、 $C$ ，就以 $\alpha$ 、 $\beta$ 为未知系数，解齐次方程 $B\alpha - C\beta = 0$ ，再把解代入 $B\alpha$ ，整理出交空间的一组基。

若 $V = U \oplus W$ ， $W$ 称为 $U$ 在 $V$ 中的一个补空间。有限维空间里可以把 $U$ 的基扩充成 $V$ 的基，用补入的基向量张成一个补空间；补空间一般不唯一。例如横轴在 $\mathbb{R}^{2}$ 中既可取纵轴为补空间，也可取直线 $y = x$ 。

多子空间直和还有基的判据：有限维时，将各子空间的一组基合在一起仍线性无关，当且仅当这个和是直和；此时和空间的维数就是各维数之和。

\begin{gathered}U_1+\cdots+U_s\text{ 是直和}\\\iff u_1+\cdots+u_s=0\\\quad\implies u_i=0\text{ 对所有 }i\\\iff U_i\cap\sum_{j\ne i}U_j=\{0\}\\\text{对所有 }i\end{gathered}

三个及以上子空间的直和不能只检查两两交为零。例如 $\mathbb{R}^{2}$ 中 $\operatorname{span}\{e_{1}\}$ 、 $\operatorname{span}\{e_{2}\}$ 、 $\operatorname{span}\{e_{1} + e_{2}\}$ 两两交都只有零向量，却有 $e_{1} + e_{2} - (e_{1} + e_{2}) = 0$ 的非平凡分解。一般判据是：若 $u_{1} + \cdots + u_{k} = 0$ 、每个 $u_{i}$ 属于相应子空间，就必须所有 $u_{i}$ 都为 0。