2.5 向量与坐标

给定线性空间的一组基 $B=(b_1,\ldots,b_n)$ 。前面已经说明，每个向量 $v$ 都能唯一写成 $v=c_1b_1+\cdots+c_nb_n$ 。 $v$ 在基 $B$ 下的坐标，就是这组线性组合系数按基的顺序排成的列向量，记为 $[v]_B$ 。

\begin{gathered}v = c_{1}b_{1} + \cdots + c_{n}b_{n}\\[.5em] [v]_B = \begin{bmatrix}c_{1} \\ \vdots \\ c_{n}\end{bmatrix}\end{gathered}

坐标依赖于所选的基，也依赖于基的排列顺序。向量本身与它在某组基下的坐标要区分开：矩阵空间中的一个向量是矩阵，而它的坐标仍是一列系数。

求坐标就是求这些系数。对于 $\mathbb R^n$ 的一组有序基，把基向量按顺序作为列组成矩阵 $P$ ，用第一章的消元法解 $Pc=v$ ，得到的列向量 $c$ 就是 $[v]_B$ 。因为这些列是一组基，这个方程对每个 $v$ 都有唯一解。

例 · 同一个向量，不同基下的坐标

取 $v=(3,1)$ 。在标准基按 $((1,0),(0,1))$ 的顺序排列得到的有序基 $E$ 下，系数依次为 3、1。改用有序基 $B=((1,1),(1,-1))$ 时，设两个系数为 $c_1,c_2$ ，就要解 $c_1+c_2=3$ 、 $c_1-c_2=1$ ，得到 $c_1=2,c_2=1$ ：

\begin{gathered}(3, 1) = 2(1, 1) + 1(1, -1)\\[.5em] [v]_E = \begin{bmatrix}3 \\ 1\end{bmatrix}\\[.5em] [v]_B = \begin{bmatrix}2 \\ 1\end{bmatrix}\end{gathered}

所以 $v$ 在 $B$ 下的坐标是 $\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$ 。若把两个基向量的顺序交换，坐标中相应的两个系数也交换，变成 $\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$ 。

如果要在两组有序基 $B=(b_1,\ldots,b_n)$ 、 $B'=(b'_1,\ldots,b'_n)$ 之间换坐标，可以先求每个新基向量 $b'_j$ 在旧基 $B$ 下的坐标，再把这些坐标按列排成矩阵 $P$ 。这个矩阵叫两组基之间的过渡矩阵，这里按下面的列排列约定：

\begin{gathered}P=[\,[b'_1]_B\ \cdots\ [b'_n]_B\,]\\[.5em] [v]_B=P[v]_{B'} \end{gathered}

已知旧坐标 $[v]_B$ 时，把新坐标写成未知列 $c'$ ，用消元法解 $Pc'=[v]_B$ 即可。这里改变的是描述同一个向量所用的基和系数，向量本身不变。