7.1 二次型及其标准形

本章讨论二次型、合同、规范形及正定性，具体计算取实数。一个 $n$ 元二次型，是只含二次项的齐次多项式：每项都是某个变量的平方，或两个变量的乘积，不含一次项与常数项；也允许所有系数都为 0。它把向量 $x$ 作为输入，输出一个实数。

\begin{aligned}f(x_1,\ldots,x_n)&=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}x_i^2\\&\quad+2\sum_{1\le i<j\le n}a_{ij}x_ix_j\\[.5em]f(x)&=x^{\mathsf T}Ax,\quad A^{\mathsf T}=A\end{aligned}

每个实二次型都唯一对应一个实对称矩阵 $A$ 。平方项 $x_{i}^{2}$ 的系数放在 $a_{ii}$ ；混合项 $x_{i}x_{j}$ 的系数则平分到 $a_{ij}$ 、 $a_{ji}$ ，因为展开 $x^{\mathsf T}Ax$ 时，这两个位置共同贡献 $2a_{ij}x_{i}x_{j}$ 。这里的唯一性以要求 $A$ 对称为前提。

为了消去混合项，作可逆线性替换 $x = Cy$ ，其中 $C$ 是实可逆矩阵。替换后仍是二次型，矩阵变为 $C^{\mathsf T}AC$ 。可逆性保证新旧变量一一对应，没有丢失原来的方向。这里不使用带平移的替换。

\begin{gathered}x = Cy \text{，} \det (C) \ne 0 \\ f(Cy) = (Cy)^{\mathsf T}A(Cy) \\ = y^{\mathsf T}(C^{\mathsf T}AC)y\\[.5em] B = C^{\mathsf T}AC \text{：} A \text{与} B \text{合同}\end{gathered}

若替换后的矩阵 $D$ 是对角矩阵，二次型就只剩平方项，称为标准形。标准形的系数可以为正数、负数或 0。实对称矩阵一定能正交对角化，因此每个实二次型都能化成标准形。

\begin{gathered}D = \operatorname{diag}(d_{1},\ldots ,d_{n}) \\ f = d_{1}y_{1}^{2} + \cdots + d_{n}y_{n}^{2}\end{gathered}

例二 · 配方法化为标准形

\begin{gathered}f = 2x_{1}^{2} + 4x_{1}x_{2} + 5x_{2}^{2} \\ = 2(x_{1} + x_{2})^{2} + 3x_{2}^{2}\end{gathered}

令 $y_{1} = x_{1} + x_{2}$ 、 $y_{2} = x_{2}$ 。反过来 $x_{1} = y_{1} - y_{2}$ 、 $x_{2} = y_{2}$ ，所以这是可逆替换：

\begin{gathered}C = \begin{bmatrix}1 & -1 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\\[.5em] x = Cy \text{，} \det (C) = 1\\[.5em] C^{\mathsf T}AC = \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}\\[.5em] f = 2y_{1}^{2} + 3y_{2}^{2}\end{gathered}

配方法逐次把某个变量的相关项合成平方，再处理剩余变量。若当前没有平方项却有混合项，可以先换变量产生平方项；例如 $2x_{1}x_{2}$ 在 $x_{1} = y_{1} + y_{2}$ 、 $x_{2} = y_{1} - y_{2}$ 下变为 $2y_{1}^{2} - 2y_{2}^{2}$ ，不应直接除以为 0 的平方项系数。

例三 · 同一二次型用正交替换化标准形

对例一的矩阵 $A$ 求特征值，得到 1、6。对应的两个单位特征向量可以取 $\frac{1}{\sqrt{5}}(2, -1)^{\mathsf T}$ 、 $\frac{1}{\sqrt{5}}(1, 2)^{\mathsf T}$ ：

\begin{gathered}Q=\frac1{\sqrt5}\begin{bmatrix}2&1\\-1&2\end{bmatrix}\\Q^{\mathsf T}Q=I\\Q^{\mathsf T}AQ=\begin{bmatrix}1&0\\0&6\end{bmatrix}\end{gathered}

\begin{gathered}x=Qz\\x_1=\frac{2z_1+z_2}{\sqrt5},\quad x_2=\frac{-z_1+2z_2}{\sqrt5}\\f=z_1^2+6z_2^2\end{gathered}

这正是上一章的正交对角化：沿互相垂直的特征方向选坐标，消去混合项。配方法得到的系数 2、3 与正交替换得到的 1、6 不同，说明标准形不唯一；只有正交对角化所得的对角元素一定是 $A$ 的特征值。

也可以使用成对初等行、列变换法。对称矩阵每作一次行操作，再对相应列作同一种操作，相当于 $A$ 变成 $EAE^{\mathsf T}$ ，仍保持对称且与原矩阵合同。也可写成 $F^{\mathsf T}AF$ ，其中 $F = E^{\mathsf T}$ ；逐步消去非对角项即可得到标准形，不能只作行变换。

要区分本章的合同 $C^{\mathsf T}AC$ 与上一章的相似 $P^{-1}AP$ 。一般合同不要求 $C^{\mathsf T} = C^{-1}$ ，也不保持特征值；当 $C$ 是正交矩阵时， $C^{\mathsf T} = C^{-1}$ ，两种表达式才相同。合同始终保持秩，因为左右乘的矩阵都可逆。