6.1 矩阵特征值、特征向量的概念及几何意义

本章以实数范围内的 $n$ 阶方阵 $A$ 为主；其他标量域的情形在后续特征理论 $II$ 中继续讨论。一般向量经过线性变换 $v \mapsto Av$ 后，长度与方向都可能改变；但有些非零向量的变换结果只是对本身进行了缩放，是它自身的一个倍数。我们把这些向量叫做矩阵 $A$ 的特征向量，把这个缩放倍数定义为特征值。这些向量揭示了变换中特别简单的方向。

\begin{gathered}Av = \lambda v \text{，} v \ne 0\\[.5em] \lambda \text{：矩阵} A \text{的特征值} \\ v \text{：对应于} \lambda \text{的特征向量}\end{gathered}

特征值是一个数，特征向量是一个非零向量，每个特征向量都会对应一个特征值，两者需要配对理解。零向量满足 $A0=\lambda 0$ ，却不能作为特征向量，因为它对任意 $\lambda$ 都成立。特征值本身则可以是 $0$ ：这表示相应的非零特征向量被映到零向量。

例一 · 两条特征方向，分别伸长三倍与两倍

A=\begin{bmatrix}3&1\\0&2\end{bmatrix},\qquad v_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\quad v_2=\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}

可拖动进度条

横轴上的向量沿原方向伸长至三倍，直线

y=-x

上的向量沿原方向伸长至两倍；其他方向的向量通常会离开原来的直线。3Blue1Brown ·《线性代数的本质》特征向量与特征值 02:12–03:42 · 英语原声／原片内嵌中英字幕

Av_1=\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}=3v_1,\qquad Av_2=\begin{bmatrix}-2\\2\end{bmatrix}=2v_2

所以 $v_1$ 是对应特征值 $3$ 的特征向量， $v_2$ 是对应特征值 $2$ 的特征向量。它们的任意非零倍数也分别具有同样的特征值。

并非每个向量都是特征向量。例如 $e_2=(0,1)^{\mathsf T}$ 的像为 $(1,2)^{\mathsf T}$ ，不可能等于 $e_2$ 的任何一个数倍，所以 $e_2$ 不是这个矩阵的特征向量。

例二 · 负特征值表示反向缩放

B=\begin{bmatrix}\frac12&-1\\-1&\frac12\end{bmatrix},\qquad u=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}

可拖动进度条

对角线

y=x

上的向量仍留在这条直线上，却反向且缩短至原来的一半，对应特征值

-\frac12

。3Blue1Brown ·《线性代数的本质》特征向量与特征值 03:42–04:03 · 英语原声／原片内嵌中英字幕

Bu=\begin{bmatrix}-\frac12\\-\frac12\end{bmatrix}=-\frac12u

特征向量可以被映到自身的反方向；定义要求它的像是自身的一个数倍，并不要求这个倍数为正。这个矩阵还满足：

B\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac32\\-\frac32\end{bmatrix}=\frac32\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}

因此另一条特征方向是 $y=-x$ ，对应特征值 $\frac32$ ，沿这一方向的非零向量同向伸长至原来的 $\frac32$ 倍。

若 $v$ 是对应于 $\lambda$ 的特征向量，那么任意非零倍数 $cv$ 也是，因为 $A(cv)=cAv=\lambda(cv)$ 。同一特征值也可能对应不止一条特征方向。

设 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的一个实特征值。对应于 $\lambda$ 的全部特征向量连同零向量组成的线性子空间，称为 $A$ 对应于 $\lambda$ 的特征子空间，记为 $E_\lambda$ ：

E_\lambda=\{v\in\mathbb R^n:Av=\lambda v\}=\ker(\lambda I-A)

$E_\lambda$ 中的非零向量才是特征向量。