4.1 矩阵的行空间与列空间

本章把第一章的线性方程组及其解集的性质用空间、基与维数重新解释。设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵。它的各列向量属于 $\mathbb{R}^{m}$ ，所有列向量张成的空间叫 $A$ 的列空间，记作 $\operatorname{Col}(A)$ ；各行向量有 $n$ 个分量，它们张成的空间叫 $A$ 的行空间，记作 $\operatorname{Row}(A)$ 。这里把行向量看成 $\mathbb{R}^{n}$ 中的向量。

\begin{gathered}\operatorname{Col}(A) = \operatorname{span}\{a_{1},\ldots ,a_{n}\} \subseteq \mathbb{R}^{m} \\ \operatorname{Row}(A) = \operatorname{span}\{r_{1},\ldots ,r_{m}\} \subseteq \mathbb{R}^{n}\end{gathered}

从线性映射的角度看，列空间是左乘映射 $L_A(x)=Ax$ 的像；行空间是右乘映射 $\rho_A(u)=uA$ 的像。这里 $x$ 是有 $n$ 个分量的列向量， $u$ 是有 $m$ 个分量的行向量。两种输入的形状不同，分别写成：

\begin{aligned} L_A:\mathbb R^{n\times1}&\longrightarrow\mathbb R^{m\times1},&x&\longmapsto Ax,\\[.5em] \rho_A:\mathbb R^{1\times m}&\longrightarrow\mathbb R^{1\times n},&u&\longmapsto uA. \end{aligned}

把行向量按其分量与 $\mathbb R^n$ 中的向量对应，就得到前面定义的 $\operatorname{Row}(A)$ 。一般来说，矩阵的行空间与列空间并不相同。

例 · 行空间与列空间属于不同的环境空间

A = \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}

\begin{gathered}a_{1} = (1, 0)^{\mathsf T} \text{，} a_{2} = (0, 1)^{\mathsf T} \\ a_{3} = (1, 1)^{\mathsf T} = a_{1} + a_{2} \\ \operatorname{Col}(A) = \mathbb{R}^{2}\\[.5em] \operatorname{Row}(A) = \operatorname{span}\{(1, 0, 1), (0, 1, 1)\} \\ = \{(s, t, s + t) : s, t \in \mathbb{R}\}\end{gathered}

列空间是整个 $\mathbb{R}^{2}$ ，行空间是 $\mathbb{R}^{3}$ 中的一个平面。它们的维数都是 2，但并不是同一个空间。即使矩阵是方阵，行空间与列空间也不一定相等。

为了求出行空间或列空间，可以先找出它的一组基。从原行（列）向量组中选取一个极大线性无关组，可以得到一组基；通过初等变换，也可以得到同一空间的另一组基，这些新基向量未必是原矩阵中已有的行（列）。

对行空间，先把 $A$ 经初等行变换化成行阶梯形 $U$ 。每个新行都是原来各行的线性组合，而逆操作又能恢复原来的行，因此行空间保持不变。 $U$ 的非零行线性无关，并张成这个行空间，所以构成 $\operatorname{Row}(A)$ 的一组基。

对列空间，同样可以用初等列变换，把 $A$ 化成列阶梯形：零列排在末尾，各非零列的首个非零分量的位置随列号严格下移。列变换及其逆操作都只把列向量重新作线性组合，所以列空间保持不变；所得非零列构成 $\operatorname{Col}(A)$ 的一组基。

例 · 用初等列变换求列空间的一组基

仍取上例的 $M$ 。依次做 $C_2\leftarrow C_2-2C_1$ 、 $C_3\leftarrow C_3-3C_1$ ，得到：

\begin{bmatrix}1&0&0\\2&0&0\\0&1&1\end{bmatrix}

再做 $C_3\leftarrow C_3-C_2$ ；这里使用的是已经更新后的第 2 列：

\begin{gathered} L=\begin{bmatrix}1&0&0\\2&0&0\\0&1&0\end{bmatrix},\\[.5em] \operatorname{Col}(M)=\operatorname{span}\left\{ \begin{bmatrix}1\\2\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\right\}. \end{gathered}

两个非零列线性无关，因此它们构成列空间的一组基。第二个基向量是由原列向量组合得到的，不必恰好是原矩阵的一列。

初等行变换保持行空间，但一般会改变列空间；初等列变换保持列空间，但一般会改变行空间。若用行消元来求列空间的基，应取原矩阵中与主元位置对应的列，不能直接取变换后的列。