8.2 域 F 上线性空间的同构

设 $V$ 、 $W$ 是同一个域 $F$ 上的线性空间。若映射 $T$ ： $V \to W$ 保持加法与数乘，而且既单射又满射，就称 $T$ 为线性同构，或简称同构。存在这样的映射时，记作 $V \cong W$ 。

\begin{gathered}T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)\\(u,v\in V,\quad\alpha,\beta\in F)\\[.5em]\text{单射：}T(u)=T(v)\implies u=v\\\text{满射：对每个 }w\in W,\\\text{存在 }v\in V\text{ 使 }T(v)=w\\[.5em]\text{线性}+\text{双射}=\text{线性同构}\end{gathered}

同构表示两个空间具有相同的线性结构，即加法、数乘、线性相关性等都能通过 $T$ 一一对应；不要求两边的元素看起来相同，也不要求 $T$ 保持长度、角度或额外规定的乘法。 $T$ 的逆映射同样是线性的。

对于有限维、同域的两个空间，存在同构当且仅当维数相同。可以把 $V$ 的一组基依次送到 $W$ 的一组基，再按相同系数延拓到所有向量，得到一个同构。这里判断的是“能否找到同构”，并不表示任意给定映射都是同构。

\begin{gathered}\text{有限维且同属域 }F\text{ 时：}\\V\cong W\iff\dim_F V=\dim_F W\\[.5em]T\Bigl(\sum_i c_iv_i\Bigr)=\sum_i c_iw_i\\v_1,\ldots,v_n\text{ 为 }V\text{ 的一组基}\\w_1,\ldots,w_n\text{ 为 }W\text{ 的一组基}\end{gathered}

令 $P_{2}(\mathbb{R})$ 为次数不超过 2 的实多项式空间，定义取值映射：

\begin{gathered}T \text{：} P_{2}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^{3} \\ T(p) = (p(0), p(1), p(-1))^{\mathsf T}\\[.5em] p(t) = a + bt + ct^{2} \text{时：} \\ T(p) = (a, a + b + c, a - b + c)^{\mathsf T}\end{gathered}

取值操作保持线性。给定任意 $(r, s, u)^{\mathsf T}$ ，可以唯一解回多项式的系数：

a=r,\qquad b=\frac{s-u}{2},\qquad c=\frac{s+u}{2}-r

所以 $T$ 既单射又满射，是同构。例如 $p(t) = 2 + 3t - t^{2}$ 对应 $(2, 4, -2)^{\mathsf T}$ ，代入逆公式又得到系数 2、3、 $-1$ 。这里的除以 2 使用了实数域；不能把这个特定例子不加检查地照搬到任意域。

检查一个已知线性映射 $T$ 是否为同构，可以检查 $\ker (T) = \{0\}$ 且 $\operatorname{Im}(T) = W$ 。若定义域与目标空间维数相同且有限，只需再确认单射或满射其中一个。在两边选定基后，也等价于其表示矩阵为可逆方阵。

同构还将子空间对应到子空间，保持线性相关性、基和维数。坐标映射 $V \to F^{n}$ 是一个标准例子：若 $U$ 是 $V$ 的子空间，则其坐标像也是 $F^{n}$ 的子空间，与 $U$ 同构。

同域上的任意两个空间 $U$ 、 $W$ 可用有序对 $(u,w)$ 构成外直和，运算逐分量定义；有限维时维数相加。它不要求 $U$ 、 $W$ 事先嵌在同一个环境空间里，区别于上一节的内部直和。

讨论同构时必须固定标量域。例如 $\mathbb{C}$ 作为复线性空间是 1 维，作为实线性空间是 2 维；实维数与复维数不能直接拿来比较。