4.4 矩阵的秩：不同角度的等价刻画

把前面的结论串起来，同一个秩可以从行列空间、向量组、消元、方程组与子式等角度理解。设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，记它的秩为 $r$ 。

空间、向量组与消元视角

\begin{aligned} r&=\dim\operatorname{Col}(A)=\dim\operatorname{Row}(A)\\[.3em] &=\text{行阶梯形矩阵的主元个数}\\[.3em] &=\text{列向量组中极大线性无关组的元素个数}\\[.3em] &=\text{行向量组中极大线性无关组的元素个数}. \end{aligned}

极大线性无关组的选法可以不同，但每组的元素个数都等于 $r$ 。行消元保持各列之间的线性关系；因此，找出阶梯形矩阵的主元位置后，取原矩阵中对应的列，就得到列向量组的一个极大线性无关组。

从方程组看，秩给出系数部分的独立线性条件数，也给出未知量个数中有多少个自由方向受到约束。4.3 已说明零空间维数是 $n-r$ ，于是也可以反过来用解空间的维数理解秩：

方程组与解集视角

\begin{gathered} r=\text{齐次方程的独立有效条件数}\\[.4em] =n-\dim\operatorname{Null}(A),\\[.6em] Ax=b\text{ 有解时：}\quad r=n-\dim\{x:Ax=b\}. \end{gathered}

从子式看，对非零矩阵，秩等于非零子式的最大阶数。选出一个非零的 $k$ 阶子式，就能保证至少有 $k$ 个独立方向；最大的这种 $k$ 就是秩。这个行列式判据在第五章介绍行列式后会更清楚。零矩阵的秩为 0。

子式视角 · 预览

\operatorname{rank}(A)=\max\{k:A\text{ 有非零的 }k\text{ 阶子式}\}\qquad(A\ne0).

同一个矩阵可以选择不同的计算路线：消元时数主元，研究映射时看像空间，研究方程时数独立条件与自由参数。这些路线得到的是同一个秩。