1.7 齐次线性方程组与非齐次线性方程组的解的结构

线性方程组一般被分为两大类，分别是齐次线性方程组和非齐次线性方程组。先看齐次线性方程组。右端常数全部为 0 的方程组 $Ax=0$ 叫齐次线性方程组；这里右边的 $0$ 表示所有元素都为 0 的列向量。

把所有未知数都取 0，总能满足 $Ax=0$ ，这个解叫零解（也叫平凡解）。至少一个未知数不为 0 的解叫非零解。齐次方程组总有解（即零解）；消元后若没有自由变量，就只有零解，若有自由变量，就有非零解。

通解的概念是指要表示全部解，而不只是找到一个解。把自由变量写成可以任意取实数的参数，再用这些参数表示其他未知数，就得到了齐次方程组的通解。

例 · 一个自由变量时的齐次通解

未知数依次记为 $x_1,x_2,x_3$ ，把它们排成的列向量记为 $x$ 。左边直接对方程进行消元，右边做相应的初等行变换。

\begin{array}{c|c}\text{方程的消元}&\text{增广矩阵的行变换}\\[.7em]\begin{cases}\text{①}\quad x_1+x_2+x_3=0\\\text{②}\quad 2x_1+x_2+3x_3=0\end{cases}&\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&0\\2&1&3&0\end{array}\right]\\[.7em]\text{第二式减去第一式}\text{的 }2\text{ 倍}&R_2\leftarrow R_2-2R_1\\[.7em]\begin{cases}\text{①}\quad x_1+x_2+x_3=0\\\text{②}\quad -x_2+x_3=0\end{cases}&\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&0\\0&-1&1&0\end{array}\right]\\[.7em]\text{第二式乘 }-1&R_2\leftarrow -R_2\\[.7em]\begin{cases}\text{①}\quad x_1+x_2+x_3=0\\\text{②}\quad x_2-x_3=0\end{cases}&\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&0\\0&1&-1&0\end{array}\right]\\[.7em]\text{第一式减去第二式}&R_1\leftarrow R_1-R_2\\[.7em]\begin{cases}\text{①}\quad x_1+2x_3=0\\\text{②}\quad x_2-x_3=0\end{cases}&\left[\begin{array}{ccc|c}\boxed{1}&0&2&0\\0&\boxed{1}&-1&0\end{array}\right]\end{array}

最后的系数部分在第 1、2 列有主元，所以 $x_1,x_2$ 是主元变量， $x_3$ 是自由变量。由最后两个方程得到 $x_1=-2x_3$ 、 $x_2=x_3$ 。令 $x_3=t$ ，通解写成：

x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=t\begin{bmatrix}-2\\1\\1\end{bmatrix},\qquad t\in\mathbb R

$t=0$ 时得到零解； $t\ne0$ 时得到非零解。取遍所有实数 $t$ ，就得到这个方程组的全部解。

有多个自由变量时，也可以按同样的方法求通解：

例 · 两个自由变量时的齐次通解

下面的方程组有四个未知数，仍然逐步对照方程消元和初等行变换：

\begin{array}{c|c}\text{方程的消元}&\text{增广矩阵的行变换}\\[.7em]\begin{cases}\text{①}\quad x_1+x_2+x_3+x_4=0\\\text{②}\quad 2x_1+3x_2+4x_3+5x_4=0\end{cases}&\left[\begin{array}{cccc|c}1&1&1&1&0\\2&3&4&5&0\end{array}\right]\\[.7em]\text{第二式减去第一式}\text{的 }2\text{ 倍}&R_2\leftarrow R_2-2R_1\\[.7em]\begin{cases}\text{①}\quad x_1+x_2+x_3+x_4=0\\\text{②}\quad x_2+2x_3+3x_4=0\end{cases}&\left[\begin{array}{cccc|c}1&1&1&1&0\\0&1&2&3&0\end{array}\right]\\[.7em]\text{第一式减去第二式}&R_1\leftarrow R_1-R_2\\[.7em]\begin{cases}\text{①}\quad x_1-x_3-2x_4=0\\\text{②}\quad x_2+2x_3+3x_4=0\end{cases}&\left[\begin{array}{cccc|c}\boxed{1}&0&-1&-2&0\\0&\boxed{1}&2&3&0\end{array}\right]\end{array}

主元在第 1、2 列，所以 $x_1,x_2$ 是主元变量， $x_3,x_4$ 是自由变量。令 $x_3=s$ 、 $x_4=t$ ，便有 $x_1=s+2t$ 、 $x_2=-2s-3t$ 。通解为：

\begin{gathered}x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}s+2t\\-2s-3t\\s\\t\end{bmatrix}\\[.7em] =s\begin{bmatrix}1\\-2\\1\\0\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}2\\-3\\0\\1\end{bmatrix},\qquad s,t\in\mathbb R \end{gathered}

令 $s=1,t=0$ ，得到第一个固定解列向量；令 $s=0,t=1$ ，得到第二个。两个自由变量分别控制这两部分，取遍所有实数 $s,t$ ，就得到全部解。

若没有自由变量，齐次通解就是 $x=0$ 。以上固定的解列向量是由消元过程得到的；它们在这里的作用是把每个自由变量对结果的影响单独写出来。

再看非齐次线性方程组。右端常数不全为 0，也就是 $b\ne0$ 时， $Ax=b$ 叫非齐次线性方程组。它可能无解，应先按上一节的方法检查有没有矛盾行。下面只讨论有解的情况。

从非齐次方程的解中任意固定选取一个，称为一个特解，记为 $x_p$ ，因此 $Ax_p=b$ 。再求同一系数矩阵对应的齐次方程 $Ax=0$ 的通解。把齐次通解中每个参数后面的固定解列向量依次记为 $v_1,\ldots,v_k$ ，就可以写成 $x=t_1v_1+\cdots+t_kv_k$ 。非齐次方程的全部解就是：

\begin{gathered}x=x_p+t_1v_1+\cdots+t_kv_k,\qquad t_1,\ldots,t_k\in\mathbb R\\[.5em] \text{非齐次通解}=\text{一个非齐次特解}+\text{对应齐次通解} \end{gathered}

例 · 一个特解加上齐次通解

\begin{gathered}x + y + z = 3 \\ 2x + y + 3z = 5\\[.5em] \text{消元得到：} -y + z = -1 \\ \text{令} z = t \text{，则} y = 1 + t \text{，} x = 2 - 2t\end{gathered}

\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\1\\0\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}-2\\1\\1\end{bmatrix},\quad t\in\mathbb R

左边的列向量记录未知数 $x,y,z$ 。右边的固定列向量 $(2,1,0)$ 给出一个非齐次特解； $t(-2,1,1)$ 给出对应齐次方程的全部解。取遍所有实数 $t$ ，就得到原方程组的所有解。

取对应齐次方程的任意一个解 $v$ ，它满足 $Av=0$ ，于是 $A(x_p+v)=Ax_p+Av=b+0=b$ 。所以特解加上任意一个齐次解仍然是原方程的解。反过来，任意一个非齐次解 $x$ 与 $x_p$ 的差满足 $A(x-x_p)=b-b=0$ ，因此所有解都能这样写出。选取不同的特解，最终表示的全部解相同。