4.3线性方程组的矩阵表示与解的关系

考虑方程 $Ax=b$ 的左边。把 $Ax$ 按列展开，就是以未知数 $x_1,\ldots,x_n$ 为系数，对系数矩阵 $A$ 的列向量进行线性组合。所以“方程组是否有解”与“$b$ 是否落在系数矩阵的列空间中”是同一个问题。

增广矩阵 $[A\mid b]$ 比 $A$ 多一列 $b$。若 $b$ 已在列空间中，加入它不会增加维数；否则，它会增加一个独立方向。因此也可比较两个矩阵的秩来判断是否有解：

确定有解后，再看组合系数是否唯一。列向量线性无关时，同一个 $b$ 的组合系数只能有一组，因此解唯一；列向量线性相关时，可以沿某些方向改变系数而不改变组合结果，因此有无穷多解。单看列相关性不能判断有解与否，仍须先检查 $b$ 是否在列空间中。

所有满足 $Ah=0$ 的向量 $h$ 组成 $A$ 的零空间，记为 $\operatorname{Null}(A)$。它与矩阵左乘所诱导映射 $T_A(h)=Ah$ 的核是同一个集合，只是分别从方程组和线性映射的角度命名。若 $x_p$ 是 $Ax=b$ 的一个特解，则所有解组成如下集合：

解集维数表示描述所有解需要多少个独立参数。对齐次方程，解集 $\operatorname{Null}(A)$ 是线性空间，维数就是其一组基的向量数。非齐次方程有解时，解集是这个线性空间的平移；平移不改变独立参数的个数，因此将它的解集维数定义为 $\dim\operatorname{Null}(A)$。

从行的角度看，$\operatorname{rank}(A) = k$ 表示系数部分有 $k$ 个独立的线性条件。在方程组有解的前提下，消元后留下 $k$ 个非零的有效方程；其他方程是它们的线性组合，没有再增加限制。“有效”指独立，不是指原方程中看起来非零的行数。

设 $A$ 有 $n$ 列、秩为 $r$。消元后有 $r$ 个主元变量，余下 $n-r$ 个自由变量。在齐次方程中，让每个自由变量依次取 1、其余自由变量取 0，就得到 $n-r$ 个基础解向量；它们线性无关，并张成整个零空间。因此：

在实数范围内，有解且维数为 0 时，解唯一；维数大于 0 时，有无穷多解，维数给出自由参数的个数。无解时不套用这个维数公式。