5.3 三维体积与高维推广

三维中把面积换成体积。三个标准基向量 $e_1,e_2,e_3$ 围出体积为 $1$ 的单位立方体；经过三阶实矩阵 $A$ 作用后，三条边分别成为 $Ae_1,Ae_2,Ae_3$ ，也就是矩阵的三列。它们围出的立体叫平行六面体。

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从单位立方体变成平行六面体，再观察体积何时消失。三维行列式的绝对值就是这一体积。3Blue1Brown ·《线性代数的本质》行列式 05:31–06:49 · 英语原声／原片内嵌中英字幕

\begin{gathered}|\det A|=\operatorname{Vol}(\text{由 }Ae_1,Ae_2,Ae_3\text{ 围出的平行六面体})\\[.5em]\operatorname{Vol}(A(R))=|\det A|\operatorname{Vol}(R)\end{gathered}

如果三列落在同一个平面里，它们就无法围出三维体积；若进一步落在一条直线上或原点，体积当然也为零。三维中的行列式为零，对应输出空间的维数小于 $3$ 。

三维的正负号仍表示定向。按 $e_1,e_2,e_3$ 的顺序，用右手的三个相互垂直的手指表示标准基，规定它为右手定向。变换后的有序三条边若保持右手定向，行列式为正；若变为左手定向，行列式为负。交换任意两条边就会交换这两种定向。

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用右手和左手区分三维定向。不要把负号理解为“负体积”：实际体积仍取行列式的绝对值。3Blue1Brown ·《线性代数的本质》行列式 06:50–07:30 · 英语原声／原片内嵌中英字幕

推广到 $n$ 维时， $n$ 阶实方阵的行列式记录 $n$ 维体积的有向缩放倍数。它的绝对值给出体积倍数，正负表示定向是否保持；若列向量线性相关，整个空间被压进更低维的子空间， $n$ 维体积归零。虽然高维图形不易直接画出，计算规则仍然适用。

\begin{gathered}A\in\mathbb R^{n\times n}:\\\det A=0\iff\operatorname{rank}A<n\\\det A\ne0\iff A\text{ 可逆}\end{gathered}